第二节 弹性力学的基本假定

弹性力学在处理问题方面比材料力学更广泛、更严密，但弹性力学仍必须作一些基本的假定，具体如下。

（1）假设物体是线性弹性的。即物体在引起形变的外力被除去以后，能够完全恢复其原来的形状，这种关系被称为正比关系，这种弹性就叫做“线性弹性”。在这一假定下的物体只能发生线性弹性变形，称其为“线性弹性体”。这样的物体在任一瞬时的变形，完全取决于它在这一瞬时所受的外力，而与它前一刻的受力情况无关。由此，也就是假定了弹性体内没有初始应力。

（2）假设物体是连续的。这假设认为整个物体的体积都被组成这个物体的物质所填满，而不留下任何空隙。这样物体中应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因而我们就可用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。实际上，一切物体都是微粒组成的，严格来说都不符合上述假定，但是，只要微粒尺寸和微粒之间的距离都比实际物体的尺寸小得很多时，这个物体连续的假定就不会引起显著的误差。

（3）假设物体是均匀的，各向同性的。均匀假设是认为整个物体是由同一种材料组成的，在这种情况下物体内部各点的物理性质都是相同的，反映这些物理性质的弹性常数，如弹性模量、泊松比等都不随位置坐标而变化。因此，可以取出物体中的任意一小部分来加以研究，然后把研究的结果用于整个物体。物体各向同性的假设是认为物体的弹性在所有各个方向都相同，各个弹性常数不随方向而变化。

凡是符合以上三个假定的物体被称为理想弹性体。

（4）假设物体的位移和应变是微小的。该假设认为物体在外力作用下，整个物体所有各点的位移都远远小于物体的原来尺寸，而且应变与转角都远小于1。经过这样假定以后，有以下好处：

1）在考察物体的应变和位移时，可以将它的二次幂或乘积略去不计。因此弹性力学中的微分方程都可简化为线性的微分方程，从而可以应用叠加原理。

2）建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不至引起显著的误差。

按照以上四个基本假定，来研究物体中应力、应变问题的弹性力学，称为线性弹性力学。本书所讨论的有关有限元的问题，都是建立在线性弹性力学的基础上。