0.2　地下水模型类型及其简介

马克思曾说过：任何一门学科只有充分利用了数学，才能够达到完美的境界。水文地质学的萌芽时期是从人类开始有意识地利用地下水开始（大约5700年前）一直持续到1856年，在这漫长的历史时期内，水文地质学一直处于定性研究阶段，以1856年达西定律的出现为标志，水文地质学开始发展到定量研究阶段，才成为一门真正的科学登上历史舞台，而地下水模型则成为解决各种水文地质问题的最重要手段。

地下水模型（Groundwater models）是用于分析和预测不同条件下局部或区域地下水系统行为的数学和数字化工具。地下水模型有多种分类方法，比如：按含水层类型分为承压含水层模型、非承压含水层模型以及半承压含水层模型；按水流条件（Flow condition）分为饱和地下水流模型、非饱和地下水流模型以及溶质运移模型；而从研究手段上则可分为物理模型（Physicalmodel），相似模型（Analog model）和数学模型（Mathematical model）。

0.2.1　数学模型

0.2.1.1　解析法

（1）达西公式（1856年，法国，Henry Darcy）。

达西（Henri Philibert Gaspard Darcy，1803.6.10—1858.1.3）是法国杰出的工程师和著名的水力学家，是现代毕托管（Pitot pipe）的发明者，他提出了管流阻力方程，并在明渠流研究领域卓有建树。他最卓著的贡献，是在1839～1840年设计并主持建造了法国第戎（Dijon）的城市供水系统，从12.7km外的Rosoir Spring输水到城市附近的水库，供给28000m的城市输水管道。这个全封闭的供水系统可在重力驱动下完成自流供水，不需要水泵加压或提水，并且只采用砂过滤的方式进行水质处理，这是他研究水在多孔介质中运动的现实基础和驱动因素。1856年，Darcy在经过大量的试验后，发表了他对多孔介质中水流运动规律的研究成果，即著名的达西定律。达西定律奠定了地下水定量评价的基础，开启了水文地质学迅速发展的全新时代。

达西定律的数学表达式和电学中的欧姆定律以及固体介质中的热传导定律是一致的，反映了3种运动形式的内在共性：

式中：Q为流量；K为介质渗透系数；I为水力梯度（无量纲）；ω为过水断面面积；V为渗流速度。

（2）裘布依稳定井流公式（1863年，法国，Jules Dupuit）。

裘布依（Jules Dupuit，1804.5.18—1866.9.5）生于意大利福萨诺（Fossano），10岁时移民法国，是法国著名的土木工程学家，在水力学中曾有多方面贡献，曾担任法国桥梁公路局的总督察，是达西的同事与朋友，擅长理论推导。甚至有资料显示，他在1854年时已从理论上预测了达西定律的基本规律，但裘布依仍在其专著的前言中明确指出“达西的实验超过了所有的前人”，体现了严谨、谦逊的学者风范（沧浪，1983）。裘布依以达西定律为基础，提出了著名的裘布依假设，并在此基础上推导出了地下水单向及平面径向稳定井流公式，描绘了特定条件下的地下水运动状态，成为水文地质学发展史上又一个重要里程碑。

裘布依假设：①含水层是均质、各向同性、等厚、水平的；②地下水为层流，符合达西定律，地下水运动处于稳定状态；③静水位是水平的，抽水井具有圆柱形定水头补给边界；④对于承压水，顶底板是完全隔水的，对于潜水，井边水力坡度不大于1/4，底板完全隔水。承压水稳定井流公式：

潜水稳定井流公式：

式中：Sw为井中水位降深；Q为抽水流量；R为水力影响半径；rw为井径；H0为初始地下水位；Hw为井中地下水位。

裘布依公式出现之后的很长一段时间，地下水水力学虽有一定程度的发展，但总是没有超出稳定流理论的范围。

地下水稳定流理论的应用有很大的局限性，最大的缺陷在于：稳定流理论所描绘的，仅仅是在一定条件下，地下水的运动经过很长时间所达到的一种平衡状态，这种平衡状态不随时间变化。而实际的地下水运动状态却是不断变化的。因而，稳定流理论的应用就只能局限于在某些特定条件下解释地下水运动的状态，而不能说明从一个状态到另一个状态之间的整个发展过程。

裘布依公式的出现，对当时地下水水力学的发展起了重要作用，直到今天仍有一定的实用价值。稳定流公式目前主要适用于具有两个定水头边界的条件，如岛状含水层、河边抽水井等，在上述条件下，经过较长时间的抽水，稳定流状态是比较容易达到和维持的。

如果说，当地下水开发利用规模与地下水天然补给量相比很小的时候，还可以近似地符合稳定流理念，而当开发规模越来越大，地下水位年复一年地发生明显的持续性下降时，就要求有新的理论来解释地下水动态的变化过程，非稳定流理论的出现则成为学科发展与生产实践中的必然。

（3）泰斯非稳定井流公式（1935年，美国，C.V.Theis）。

在地下水稳定流理论出现之前，在经典物理学中就已提出了电流和热传导等方面的非稳定运动理论问题。地下水非稳定流理论的出现，比其他学科的相应理论要晚一个多世纪，这主要是由于地下水的开发规模，还不足以对地下水动态造成引人注目的变化，而将其近似等同于稳定状态，满足于以裘布依公式为代表的稳定流理论。

达西定律和裘布依公式是在法国提出的，有关热传导的数学理论也是法国人福里哀早在达西定律出现以前就建立了的，但地下水非稳定流理论出自美国。这是由于法国地表水资源比较丰富，地下水开发量不大，因而长期停留在裘布依公式的水平上；而美国由于有大片干旱半干旱地区，加上社会经济发展迅速，一段时期内对地下水资源需要量增长较快，地下水资源开发利用程度的提高促进了非稳定流理论的发生和发展。恩格斯曾经精辟地提出：“社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比10所大学更能把科学推向前进。”

在地下水非稳定流理论的发展过程中，首先是温策尔（L.K.Wenzel）等人在美国内布拉斯加州进行抽水试验对蒂姆公式（Thiem equation）进行验证时，发现了一系列地下水作非稳定运动的现象，提出了可以根据地下水降落漏斗发展过程计算含水层给水度的思想；迈因策尔（O.E.Oscar Edward Meinzer，1876—1948）根据大量长期观测资料，在1928年撰文认为：承压含水层是可压缩而且是有弹性的，在分布宽广的承压含水层中抽水的过程，也是不断消耗贮存量的过程，并以美国达科他（Dakota）砂岩中几十年抽水的实际材料证明了这一点。

温策尔、迈因策尔等人的文章表明，早在20世纪30年代初期，由于开发利用地下水规模的扩大，已经为潜水和承压含水层中的地下水非稳定流理论准备了丰富的实践基础。而固体中热传导理论的发展又为非稳定流理论准备了现成的数学工具。1935年美国人泰斯（Charles Vernon Theis，1900.3.27—1987.7.31）利用了迈因策尔、温策尔等人的实际材料和观点，在数学家卢宾（C.I.Lubin）的帮助下，利用热传导理论中现成的公式加以适当改造，第一次提出了实用的地下水径向非稳定流公式，即泰斯公式：

泰斯公式出现5年后，雅各布（Jacob）参照热传导理论中的方法，建立了地下水运动的基本微分方程，并系统阐明了承压含水层贮水系数的构成。

非稳定流理论问世以来，地下水运动问题的解析法有了很大发展，建立了一系列的方程、公式和图表，并被广泛应用到生产实践中去。它不仅推动了地下水理论的发展，还解决了大量的生产实际问题。

解析法的缺点：在确立定解问题时，需要对地质、水文地质条件进行大量的简化，一般来说，它只适用于含水层几何形状简单，并且是均质、各向同性的情形，而实际水文地质条件往往十分复杂，建立符合实际条件的复杂的数学公式，其解析解的求取则相当困难，很多模型在当前条件下甚至是不可能得到结果的；而如果勉强应用解析法，常常需要大量简化水文地质条件，这样得到的结果，可能与实际情况相差较大。

0.2.1.2　数值法

根据一定的数学模型在计算机上用数值法模拟地下水的运动状态便称为地下水数值模拟。

对数学模型求其数值解的思想早在20世纪40～50年代就已出现，然而由于计算量过大，以至于没有数字计算机哪怕是解一个最简单的问题所需要的时间也是惊人的。因而，这个方法的普及依赖于数字计算机的发展。

Terwilliger等（1951）用数字方法及穿孔卡设备，采用数值方法对油储重力疏干所遇到的二相流问题进行了求解尝试，其后，油储问题的数值计算方法得到了较大发展，直到1956年，斯图尔曼（R.W.Stallman）才将数值模拟应用于水文地质计算，并提出了一种用对承压面进行数值分析以确定含水层渗透系数的方法。20世纪60年代以来，随着计算机技术的迅速发展，数值方法作为一种求解近似解的方法被广泛用于地下水水位预报和资源评价中，成为当代水文地质研究与应用的最重要手段之一。近年来，国际上大型野外试验场地研究、随机方法引入、生物过程模型耦合以及计算方法的创新，使地下水数值模拟进入全新研究阶段。

地下水数值模拟在中国经历了从无到有、从简单的水流模型到比较复杂的物质和热量运移模型、从仿制到独立研制最后走向世界的发展历程。现在可以说，中国已经差不多对国际上讨论的各种问题都建立了相应的数值模拟模型：包括水资源评价问题，地下水污染问题，水岩作用和生物降解作用的模拟，非饱和带水分和盐分运移问题，海水入侵、高浓度咸水/卤水入侵问题，热量运移和含水层贮能问题，地下水管理与合理开发、井渠合理布局和渠道渗漏问题，地下水—地表水联合评价调度问题，地面沉降问题，参数的确定问题。所建立的模型囊括了包括识别模型、预报模型以及管理模型等在内所有的地下水模型类型（蔺文静，2007；薛禹群，2010）。

0.2.2　物理模型

菲利浦—福熙海麦（Philipp Forchheimer，1852—1933，奥地利土木水利工程学家）是第一位采用物理砂箱模型（Sand tank model）演示地下水流现象的学者（1898）。在砂箱模型中，实际尺度的水文地质条件按照一定比例缩小到实验室尺度，含水层介质装入砂箱，设定合适的边界条件，模拟抽水、注水、溶质运移、海水入侵等现象。人们建立了不同形状（长方形、立方体等）以及不同规模的物理装置模拟多孔介质中的水流运动（图0.2.1），在德国慕尼黑的放射研究与水力学实验室（Radiometric Study and Hydraulic Laboratory）的砂槽尺寸可达20m×10m×5m。

物理模型盛行于1930～1950年间，由于对区域地下水流的物理模拟成本高、耗时长，因此，相似模型（Analog models）在20世纪60年代开始出现，并一度成为地下水模型主流。

0.2.3　相似模型

相似模型技术是基于两种物理系统在运动特征等方面的相似性，利用易于掌控和分析的一种系统去模拟另外一个系统的运动规律。在区域地下水流研究中，主要有两种相似模拟技术。

（1）黏滞流体模型（Viscous Fluid Models）。

赫尔—肖（Hele—Shaw，1897）指出：二维地下水流运动特征与两平行薄板间的黏滞流体运动相似，并提出了在密度流问题（海水入侵）中广泛使用的Hele—Shaw模型。假设两平行薄板间的流体运动为层流，则流线可以绘制出流体运动的二维等势场。利用流体运动的Navier—Stokes方程以及垂向流条件的裘布依假设，则可导出平均流速为

式中：μm为模型流体黏滞度；ρm为模型流体密度；b为两平行薄板间距离；g为重力加速度；d h/d x为水力坡度。

对比式（0.2.5）和达西定律的表达式（V＝KI），则模型渗透系数可以写成

显然，从式（0.2.6）中可以通过改变平板距离b以及改变流体密度和黏滞性得到需要的渗透系数值。

模型流体常选择油（oil）和甘油（glycerin），流体加上染料（dye）可模拟非承压条件下的自由表面。过去，大量研究人员利用黏滞流体相似模型解决了一系列关于渗漏、排水和海水入侵等问题。

（2）电模拟模型（Electric Analog Models）。

M.King Hubbert在1931～1936年期间进行地球电阻测量时，对地下渗流的物理性质发生了兴趣，并直觉感到水流与电流的运动规律具有相似性。欧姆定律和达西定律在数学上完全类似，表示了流动和势之间的关系，并且包含一个反映材料性质的比例常数：

欧姆定律：

式中：I为电流强度；σ为电导率；d V/d x为电压梯度。

达西定律：

式（0.2.8）中的q，K，h与式（0.2.7）中I，σ，V的相似性奠定了电相似模拟的基础。

电容的定义是使极板间的电压提高一个单位所需要的电量，它相当于含水层的储水系数，当两个极板之间的电压改变时，电容器存储或释放电量。因此，在电模拟模型中使用电容，使得模拟依赖时间变化的水文地质问题有了可能。

在电模拟方法中，电阻—电容（R—C，Resistance—Capacitance）相似模型在20世纪60～70年代应用最为广泛。Skibitzke（1960）提出了使用R—C相似模拟技术研究地下水流问题的思路，接下来，Bermes（1960），Brown（1962），Stallman（1963），Walton和Prickett（1963），Patten（1965），Cole和Blair（1967），Thangarajan（1975，1983）等应用此项技术并证明其对于地下水问题研究的有效性（图0.2.2）。

0.2.4　地下水数值计算的特点

与解析法相比，地下水数值法灵活、适应性强，善于模拟复杂的水文地质条件，不仅可以解线性问题，非线性问题也比较容易处理，而且可以用于水文地质的很多领域，如水位预报、水量计算、水质以及水温的计算、地下水的合理开发利用、地下水染污预防与治理等一系列问题。

地下水数值法的计算在通用计算机上进行，不需要像物理模拟和相似模拟那样建立复杂的专门设备；同时，地下水数值计算可以实现程序化，修改算法、修改模型都十分方便。对某一类问题只要编出通用程序后，对不同的具体问题只要按程序整理好数据就可以直接上机计算。

由于地下水数值计算方法的迅速普及和水平参差不齐的应用，使得在生产实践中，人们对地下水数值计算方法产生了一些误解。如下这些观点的出现一般都有一定的确凿案例为支撑，但可能过度放大了局部效应。

（1）“数值计算方法的结果总是可按人为意志操控的”。实质上，地下水运动的数学模型是以渗流连续性方程（质理守恒原理）以及达西定律为基础的，具有坚实的理论基础。只要输入确定的水文地质参数、边界条件、源汇项数据，收敛的模型必然具有唯一的确定性结果，其结果并非可以人为任意操控。之所以出现一些负面事例，通常有两种情况：一是由于人们对研究区的实际水文地质条件以及数据的掌握不够，所输入的各种数据不够准确、甚至不合理，所得的结果自然存在不同程度的可靠性问题；另一种情况，极个别技术人员片面追求模拟结果与实际情况的“接近”程度，随意篡改后台数据、有选择性地展示模拟结果，造成一种“合理性假象”，这样的模型自然经受不住时间和现实的考验。

（2）“数值计算方法获得的结果比其他方法更精确或者更可靠”。这也是一个误区，地下水数值法的求解能力要比解析法、实验法等强，可以适应较为复杂的水文地质条件。但数值计算结果的精确程度或可靠性，取决于水文地质概念模型是否合理、可靠，取决于边界条件、源汇项数据、初始流场是否准确。没有可靠、准确的基础数据支撑，数值法的结果也谈不上准确、可靠，因此，不能简单地认为数值法比其他方法更有优势。

（3）“数值计算方法一定要在水文地质资料和数据十分详尽的情况下才能使用”。地下水数值计算方法，提供的是一种分析工具，它可以在不同工作阶段发挥不同的作用。例如，当对研究区水文地质条件掌握不够充分而需要补充勘探工作量时，数值模型可以帮助确定重点工作区或工作内容；当对一个问题有不同观点时，可以利用数值模型模拟出不同取值条件下的地下水系统的响应，从而帮助人们对某些假设的可能性进行判断。因此，在水文地质资料和数据不充足的时候，地下水数值模型可以用来帮助工作人员更有效地开展进一步的工作。当然，在这些条件下应用地下水数值模型，需要工作人员清晰地了解模型存在的不确定性。

（4）“数值模型应该能够准确预测地下水动态”。这是一个对地下水数值模型过于苛求的想法，Stuart Alan Rojstaczer（1994）指出，地下水数值模型对于预测实际地下水系统行为的准确性是较差的。其原因主要有：①限于技术与成本，我们对实际水文地质条件的认识难以达到“真实”状态，甚至很多情况下都难以达到“足够清晰”的程度；②数学模型的“仿真”能力是有限的，必须建立在相对理想的水文地质概念模型基础之上，因此，再准确的数值模型也会与实际情况之间存在偏差；③在地下水动态预测之前，未来条件下的边界条件、源汇项等一系要素需要首先预测出来，而这样预测的准确性通常较低。在上述3个因素作用下，不应该对地下水数值模型预测的准确性过于苛求，而是将其视为对各种拟定方案和假设的定量化模拟工具，分析未来地下水系统行为的变化趋势。

希望大家在学习的过程中，不但注重掌握地下水数值模拟的最基本原理与方法，了解地下水数值模拟技术解决实际水文地质问题的基本过程；同时，也应该时刻注意地下水数值模拟方法在解决实际问题时所做的概化、优点和局限，以期合理、有效地运用该方法为科研和生产服务。