第三节　地面点位的确定与表示

测量工作的基本任务就是测定地面点的位置，而地面点的位置是用三维坐标来表示的。用以确定地面点位的坐标系有以下几种：

一、测量坐标系

（一）地理坐标系

地理坐标系属球面坐标系，依据采用的投影面不同，又分为天文地理坐标系和大地地理坐标系。

1.天文地理坐标系

天文地理坐标系又称天文坐标，用天文经度λ和天文纬度φ表示地面点投影在大地水准面上的位置，如图1-3所示。

确定球面坐标（λ，φ）所依据的基准线为铅垂线，基准面为大地水准面。PP1为地球的自转轴，P为北极，P1为南极。地面上任一点A的铅垂线与地轴PP1所组成的平面称为该点的子午面。子午面与球面的交线称为子午线，也称经线。A点的经度λ是A点的子午面与首子午面所组成的二面角。它自首子午面向东量度，称为东经，向西量度，称为西经。其值各为0°～180°。垂直于地轴的平面与球面的交线称为纬线；垂直于地轴并通过地球中心O的平面为赤道面；赤道面与球面的交线为赤道。A点的纬度φ是过A点的铅垂线与赤道平面之间的交角，其计算方法从赤道面向北量度，称为北纬，向南量度，称为南纬。其值为0°～90°。

天文地理坐标可以在地面上用天文测量的方法测定。

2.大地地理坐标系

大地地理坐标系表示地面点投影在地球参考椭球面上的位置，用大地经度L和大地纬度B表示（图1 3），其坐标原点并不与地球质心相重合。这种原点位于地球质心附近的坐标系，又称参心大地坐标系。确定球面坐标（L，B）所依据的基准线为椭球面的法线，基准面为旋转椭球面，A点的大地经度是A点的大地子午面与子午面所夹的二面角，A点的大地纬度B是过A点的椭球面法线与赤道面的交角。大地经纬度是根据一个起始的大地点（称为大地原点，该点的大地经纬度与天文经纬度相一致）的大地坐标系，按大地测量所得的数据推算而得。

我国以位于陕西省泾阳县永乐镇的大地原点为大地坐标的起算点，由此建立的坐标系称为“1980年国家大地坐标系”。

（二）地心坐标系

地心坐标系属空间三维直角坐标系，用于卫星大地测量。由于人造地球卫星围绕地球运动，地心坐标系的原点与地球质心重合，如图1-4所示。Z轴指向北极且与地球自转轴相重合，X、Y轴在地球赤道平面内，首子午面与赤道面的交线为X轴，Y轴垂直于XOZ平面。地面点A的空间位置用三维直角坐标XA、YA、ZA来表示。WGS-84世界大地坐标系是地心坐标系的一种，应用于GPS卫星位置测量，并可将该坐标系换算为大地坐标系或其他坐标系。

（三）平面直角坐标系

1.高斯平面直角坐标系

（1）投影变形的概念。大地坐标只能用来表示地面点在椭球体上的位置，不能直接用来测图。在规划、设计和施工中均使用平面图纸反映地面形态，而且在平面上进行数据运算比在球面上要方便得多。由于椭球体面是一闭合曲面，要将曲面展开为平面必然产生长度、面积和角度变形。为了解决这一矛盾，必须研究地图投影的问题。

考察椭球面上一个微小的图形（微分圆）在投影过程中表象的变化可知，投影后将出现图1-5所示的几种情况。

如图1-5所示的变形性质，可将地图投影分为正形投影、等面积投影和任意投影。正形投影和等面积投影是两种常用的地图投影方式。

正形投影有两个基本条件：一是保角性；二是长度比的固定性。所谓保角性，是指角度投影后大小不变，这就保证了微分图形投影后的相似性。长度比是投影平面上无穷小线段ds与椭球上相应的无穷小线段dS之比，以m表示，m＝ds/dS，长度比是一个变量，在一般情况下，它不仅随点位的不同而变化，也随方向角不同而不同（即使在同一点上）。正形投影在无穷小范围内保持椭球面与平面上的相应图形相似，其长度比m仅随点位而变化，与方向无关，即正形投影的长度虽然产生变形，但在同一点的各个方向上的微分线段，投影后长度比为一常数，即所谓的长度比的固定性。

（2）高斯投影的概念。高斯-克吕格投影简称“高斯投影”，是正形投影的一种。除了满足正形投影的两个基本条件外，高斯投影还必须满足本身的特定条件，即中央子午线投影后为一直线，且长度不变。设想有一个椭圆柱面横套在地球椭球的外面，并与某一子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球中心，与椭圆柱面相切的子午线称为中央子午线或轴子午线。然后将椭球面上中央子午线附近有限范围的点线按正形投影条件向椭圆柱面上投影，之后将椭圆柱面通过极点的母线切开，展为平面，于是不可展曲面上的图形就转换成可展曲面（椭圆柱面）上的图形。

高斯投影的规律是：

1）投影后中央子午线成为一直线，且长度不变，其余子午线投影后均为曲线，对称地凹向中央子午线。

2）投影后的赤道为一直线，且与中央子午线正交，平行的纬圈投影后为曲线，以赤道为对称轴凸向赤道。

3）经纬线投影后仍保持相互正交的关系，即投影后无角度变形。

（3）高斯投影分带。高斯投影中，除中央子午线投影后为直线，且长度不变外，其它长度均产生变形，且离中央子午线越远，变形越大。

当长度变形大到一定限度后，就会影响测图、施工的精度，为此必须对长度变形加以控制。控制的方法就是将投影区域限制在靠近中央子午线两侧的有限范围内，这种确定投影带宽度的工作，叫做投影分带。

投影带宽度是以相邻两子午面间的经度差l来划分的，有6°带和3°带两种。六度带是自英国格林尼治子午面起，自西向东每隔6°将椭球划分为60个度带，编号为1～60，各带的中央子午线的经度L0依次为3°、9°、15°、…。我国疆域内有11个六度带，自西向东编号为13～23，各带的中央子午线的经度自75°开始，到135°。三度带是自15°开始以经差3°划分的，编号为1～120，各带的中央子午线的经度L0依次为3°、6°、9°、…、360°。在我国范围内，3°带的编号自西向东为25～45，共21个。不难看出，三度带的中央子午线经度一半与6°带中央子午线经度相同，另一半是6°带分带子午线的经度，如图1-6所示。

带号与中央子午线的关系为（以东半球为例）：

式（1-2）可用来求得带号及某中央子午线的经度。

例如，北京所在六度投影带的中央子午线由式（1-2）第一式，应有n＝＝（117°＋3°）/6°＝20

可知北京位于6°带第20带。

根据我国测图精度的要求，用6°分带投影后，其边缘部分的变形能满足1∶25000或更小比例尺的精度，而1∶10000以上的大比例尺测图，必须用3°分带法。

（4）高斯平面直角坐标系的建立。在椭圆柱内，使椭球绕短轴旋转，依次使各投影带的中央子午线与椭圆柱内表面相切，分别进行正形投影，然后沿径向将横椭圆柱剪开，展开平面，则每个投影带就形成一个高斯平面直角坐标系。如图1-7所示，中央子午线与赤道为正交的两条直线，其交点O为坐标原点，中央子午线为纵坐标轴，以x表示，赤道为横坐标轴，以y表示。这样，对六度带而言，形成60个高斯平面直角坐标系，对三度带来说，形成120个高斯平面直角坐标系。

地面点在高斯平面直角坐标系的坐标，用点到两个坐标轴的垂直距离量度，其中，点到横坐标轴的距离x为点的纵坐标，到纵坐标轴的距离y为点的横坐标。点的纵横坐标有正负之别，位于赤道以北的点，x值均为正，在赤道以南时，x值为负；在一个投影带内，位于中央子午线以东的点，y值为正，在中央子午线以西时，y值为负。

点的坐标的实际值称为坐标自然值。为了区别点位于哪一个投影带，在y值前冠以带号；而且为了使用坐标的方便，避免y值出现负值，将纵坐标轴向西移动500km（图1 -8），也就是说，在y坐标的自然值上统统加上一个常数500km。经过以上两项处理后，点的坐标值称为坐标通用值。例如A点位于六度带第19带，其平面坐标的自然值为

其平面坐标通用值应为

测绘部门提供的坐标成果均为通用值。

测量学上的高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角坐标系的不同点可归纳为：

1）坐标轴不同。高斯坐标系的纵坐标为x，正方向指向北，横坐标轴为y，正方向指向东，而笛卡尔坐标系的坐标轴x为横坐标，y为纵坐标；

2）坐标象限不同。高斯坐标系以北东区（NE）为第一象限，顺时针划分为四个象限，代号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。笛卡尔坐标也是以北东区（NE）为第一象限，但逆时针划分为四个象限；

3）表示直线方向的方位角α起算基准不同。高斯坐标系以纵轴x的北端起算，顺时针计值。笛卡尔坐标系以横轴x东端起算，逆时针计值（图1-9）。

2.自由平面直角坐标系

当测区半径较小时，可直接将地面点沿各自的铅垂线方向投影到水平面上，用平面直角坐标x、y表示点的平面位置。该测区可以与国家点连测，也可以假定起始点坐标。

二、测量高程系

地面点到大地水准面的铅垂距离定义为该点的绝对高程，简称为高程或标高、海拔，记为H，如图1-10所示，A点的高程为HA。当基准面是一般水准面时，该点的高程叫相对高程或假定高程。可见，建立高程系的核心问题是如何确定高程基准面。

（一）1956年黄海高程系和1985年国家高程基准

1949年前，我国采用的高程基准面十分混乱。新中国成立后，国家测绘局统一了高程基准面，以设在山东省青岛市的国家验潮站1950年到1956年的验潮资料，推算的黄海平均海水面作为我国高程起算面，并以其高程为零推求出青岛国家水准原点的高程为72.289m。这个高程系统称为“1956年黄海平均海水面高程系统”，简称“1956年黄海高程系”。全国各地高程控制点的高程均依此引测而得，所有测绘成果，如地形图、控制点高程等都注有该高程系字样。

20世纪80年代初，国家又根据1953—1979年青岛验潮站观测资料，推算出新的黄海平均海水面零位置，并以此为起算面，测得青岛国家水准原点的高程为72.2604m，称为“1985年国家高程基准”。

（二）假定高程

全国各地的地面点的高程，都是在统一高程系统下建立的，即以青岛国家水准原点的黄海高程为起算数据，在全国布设各种精度等级的高程网，主要以水准测量方法求得各点高程。在局部地区，也可建立假定高程系统，所求点的高程均为相对高程，如图1-10中的

三、水平面代替水准面的限度

在普通测量学中，由于测区范围较小，往往用水平面代替水准面，那么，在多大的范围内才能够允许用水平面代替曲面，而不考虑地球曲率对测量结果的影响。

（一）地球曲率对距离的影响

在图1-11中，设AB为水准面一段弧长D，所对应的圆心角为θ，地球半径为R，自A点作切线AB，设长为l。若将切于A点的水平面代替水准面的圆弧，则在距离上将产生误差ΔD

ΔD＝l－D＝R（tgθ－θ）

将tgθ＝θ＋＋…代入，得

上式两端同除以D，得相对误差为

取R＝6 371km，ΔD值见表1-1。由该表可知，当D＝10km时，ΔD/D＝1∶120万，小于目前精密的距离测量误差1∶100万，因此，可以认为，在半径为10km的区域，地球曲率对水平距离的影响可以忽略不计，即可把该部分球面当作水平面看待。在精度要求较低的测量工作中，其半径可扩大到25km。

（二）地球曲率对高差的影响

由图1-11可知，A、B两点在同一水准面上，高程相等，若以水平面代替水准面，则B点移到B′点，高差误差为Δh，可知

若D代替l，同时略去分母中的Δh，则

不同D值的Δh仍列于表1-1中，当D＝1km时，Δh也有7.8cm的误差。可见地球曲率对高差的影响之大，因此，即使在短距离内也必须考虑其影响。