1.4　用水平面代替水准面的限度

实际测量工作中，在一定的测量精度要求和当测区面积不大时，往往用水平面代替水准面，使绘图和计算工作大为简化，那么多大范围内才允许用水平面代替水准面。以下就讨论以水平面代替水准面对水平距离和高差的影响，从而明确用水平面可以代替水准面的限度。

1.4.1　用水平面代替水准面对水平距离的影响

如图1.13所示，A、B为地面上两点，它们在大地水准面上的投影为a、b，弧长为D，所对的圆心角为θ。A、B两点在水平面上的投影为a′、b′，其距离为D′，两者之差ΔD即为用水平面代替水准面所产生的误差，即

ΔD＝D′-D

因为D′＝R tanθ，D＝Rθ

则有ΔD＝R tanθ-Rθ＝R（tanθ-θ）

将tanθ按级数展开，并略去高次项，取前两项得：

则

以代入式（1.6）得

表示成相对误差为

取R＝6371km，并以不同的D值代入式（1.7）和式（1.8），即可求得用水平面代替水准面的距离误差和相对误差，见表1.1。

由以上计算可以看出，当距离为10km时，以水平面代替水准面所产生的距离误差为小于目前精密距离测量的允许相对误差。由此可得出结论：在半径为10km的范围内，地球曲率对水平距离的影响可以忽略不计。对于精度要求较低的测量，还可以扩大到以25km为半径的范围。

1.4.2　用水平面代替水准面对高差的影响

在图1.13中，a、b两点在同一水准面上，其高差hab＝0。a′、b′两点的高差ha′b′＝Δh，则Δh就是hab与ha′b′的差，即Δh为水平面代替水准面所产生的高差误差。

（R＋Δh）2＝R2＋D′2

化简得

式（1.9）中，可用D代替D′，同时Δh与2R相比可略去不计，故式（1.9）可写为

以不同距离D代入式（1.10），得相应的高差误差值，列于表1.2中。

由表1.2可知，当距离为100m时，高差误差就接近1mm，这对高程测量来说影响很大，所以，在进行高程测量时，必须考虑地球曲率对高程的影响。