![弹性与塑性力学引论](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/760/40936760/b_40936760.jpg)
2.6 应力球张量与偏张量
2.6.1 概念
弹塑性力学中物体的变形通常可以分为体积改变和形状改变两种,体积改变往往是由各个方向相等的应力引起的(如静水压力),实验证明,这种应力作用下固体发生的变形一般是弹性变形,而塑性变形往往由形状改变产生。根据这一特点,在弹塑性力学中可以将应力状态进行分解如下:
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其中σmδij称为应力球张量。
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σm称为平均正应力或静水应力。
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sij称为应力偏张量,简称为应力偏量。
2.6.2 应力椭球面
应力球张量只有3个相等的正应力分量,切应力分量为0,它表示了一种各向相同的“球形”应力状态。
如图2.6.1所示,令任一斜面n上的应力矢量p在主向空间中的方向矢量为(l1,l2,l3),那么沿1、2、3轴的应力分量为
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根据有
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![img](https://epubservercos.yuewen.com/355F4D/21277070201867106/epubprivate/OEBPS/Images/txt002_93.jpg?sign=1734409883-cAOwjdG3e2TiPnJnUWMorVOkOGLSyEjG-0-2fe7336cad2be8e18652d43363b232ff)
图2.6.1 应力椭球面
这是以p1、p2、p3为变量的椭球面方程,称为应力椭球面。也就是说,如果经过O点的每个截面上的应力都用应力矢量p(分量为p1、p2、p3)表示的话,则以O点为起点的这一矢量终点都落在应力椭球面上,如图2.6.1(b)所示。从应力椭球面也可以看出,在通过同一点的所有截面上的正应力中,最大和最小的都是主应力。
当σ1=σ2=σ3=σm时,式(2.6.5)为一球面方程,应力椭球面成为一个半径为σm的球面,球张量因此而得名。
2.6.3 应力偏量的不变量
和应力张量一样,应力偏量也可以求对应的主应力,以张量形式表示的求解方程组与式(2.5.5)类似,为
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式中:sn为应力偏量对应的主应力;lj(j=1,2,3)为主方向与坐标轴间夹角的方向余弦。上式是以lj为未知量的线性代数方程组,存在非零解的条件是系数行列式为0,即
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展开后得
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其中
![img](https://epubservercos.yuewen.com/355F4D/21277070201867106/epubprivate/OEBPS/Images/txt002_97.jpg?sign=1734409883-E6F62p1wstZS3CRRIpWIkb9vmeP5MtUz-0-d9ae8bfc12c285088904b2b074f496e0)
J1、J2、J3称为应力偏量的第一、第二、第三不变量。求解关于sn的三次方程式(2.6.8),3个根即为应力偏量的主应力s1、s2、s3。然后利用式(2.6.6)可确定主方向。可以证明,应力偏量与应力张量的主方向一致。
当坐标轴取为主应力σ1、σ2、σ3的方向时(即主向空间),应力偏量不变量的计算公式可以进一步简化:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/355F4D/21277070201867106/epubprivate/OEBPS/Images/txt002_98.jpg?sign=1734409883-tuL8fOTupk1sEproMxNMXxkyxb73CBZK-0-1580b048a4ed2f366bef4c698b0d926c)
式(2.6.13)中J2的表达式与材料力学中应力单元体的形状改变应变能密度公式相近,为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/355F4D/21277070201867106/epubprivate/OEBPS/Images/txt002_99.jpg?sign=1734409883-7dycDyNuJxvnfslL1xXLykhrUDder71D-0-b75ee92684abe9fd25deaf937f68606a)
因此应力偏量的第二不变量与单元体的形状改变有关。
2.6.4 八面体平面
与主向空间的3个坐标轴方向等倾斜的面称为八面体平面(图2.6.2),其法线方向余弦满足:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/355F4D/21277070201867106/epubprivate/OEBPS/Images/txt002_100.jpg?sign=1734409883-UzvTfGj0ao7UWfssFegospfduShY2anp-0-aa023d3a4e922d68b08422a218aa2345)
图2.6.2 正八面体与八面体平面
![img](https://epubservercos.yuewen.com/355F4D/21277070201867106/epubprivate/OEBPS/Images/txt002_101.jpg?sign=1734409883-whKaOYt8gFuUCqOtAyOEOpIzz2ulS6nJ-0-3bc2e1b678b2c7ee7c5be0ffcd699cf5)
因此法线与各坐标轴(主应力方向)的夹角约为54.7°,其上的正应力和切应力为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/355F4D/21277070201867106/epubprivate/OEBPS/Images/txt002_102.jpg?sign=1734409883-u0jGNVleKbY5w6R1rxjiWTFpP1dSXlsz-0-2027d548ba6d0879359ae002da6ad283)
在非主向空间的情况下,更一般的八面体平面切应力表达式为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/355F4D/21277070201867106/epubprivate/OEBPS/Images/txt002_103.jpg?sign=1734409883-Kdd0Ta8ScQrrmuXomKdDTPt6UNhHVHUq-0-a586bc4166221edfe488bf826ed80c58)
比较式(2.6.18)与式(2.6.13),八面体平面切应力与应力偏量的第二不变量之间存在以下关系
![img](https://epubservercos.yuewen.com/355F4D/21277070201867106/epubprivate/OEBPS/Images/txt002_104.jpg?sign=1734409883-mAJdQMfMJQZp4TaSnwh5pK8uOmxE1HqI-0-36797d027992dce98ade1b8067ab620e)
显然,八面体切应力也与物体的形状改变有关。