第一节　空间汇交力系

一、力在空间直角坐标轴上的投影

同平面力系一样,研究空间力系的简化、合成及平衡问题也需将力系中各力在空间坐标轴上进行投影。通过第二章的研究得知,力在某轴上的投影等于该力矢量与该轴单位矢量之数量积,现在可将其推广至空间力系中。

设有一力F作用于物体的O点上,如图3-2(a)所示,现过O点作一空间坐标Oxyz,并以i,j,k分别表示Ox,Oy,Oz轴的单位矢量,若力F的方向角α,β,γ(力F与坐标轴Ox,Oy,Oz正向夹角)为已知,则可用直接投影法,根据力的投影定义,可得出该力在三个坐标轴上的投影分别为

式中:cosα,cosβ,cosγ为力F的方向余弦。

当力F的方向角不能全部得知,但已知确定F方向的其他角度时,如图3-2(b)所示,已知力F与z轴的夹角γ和F在Oxy面上的分力Fxy与Ox轴的夹角φ,则可先将力F先投影到坐标平面Oxy面上,得到力Fxy,然后再将此力投影到x,y轴上。则力F在三个坐标轴上的投影分别为

在一些实际问题中,应用这个方法计算投影往往比较方便。这种投影法称为二次投影法。

从上面的分析不难看出,如果力F的大小和方向是已知的,则它在选定坐标系的三个轴上的投影是确定的(坐标系不定,投影则无法确定);反过来,若已知力F在选定坐标系的三个坐标轴上的投影Fx,Fy,Fz,则力F的大小及方向也随之唯一确定,这说明力和它在选定坐标轴上的投影具有一一对应的关系。对于正交坐标系,在已知力在各轴上投影的情况下,其力的大小为

其方向余弦为

从前面的分析还可以看出,对于正交坐标系,力在坐标轴上的投影Fx,Fy,Fz和力沿坐标轴的分量的大小是相同的,在图3-2(a)中,显然有

由此可得力沿坐标轴的解析式

【例3-1】　在正方体的顶点A和B处,分别作用力F1和F2,如图3-3所示。试求此二力在x,y,z轴上的投影。

解:设正立方体的边长为a,则

F1在三个坐标轴上的投影

F2在三个坐标轴上的投影

二、空间汇交力系的合成与平衡条件

将平面汇交力系的合成法则扩展到空间,可得:空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和,合力的作用线通过汇交点。合力矢为

或

其中,∑FRx,∑FRy,∑FRz为合力FR沿x,y,z轴的投影。由合力矩定理

由此可知合力的大小和方向余弦为

由于空间汇交力系合称为一个合力,因此,空间汇交力系平衡的必要和充分条件为:该力系的合力等于零,即

由式(3-7)可知,为使合力FR为零,必须同时满足

空间汇交力系平衡的必要和充分条件为:该力系中所有的力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。式(3-10)称为空间汇交力系的平衡方程(为便于书写,下标i可略去)。