第四节 物体系的平衡 静定与静不定的概念
所谓物体系,是指由若干个构件按一定方式组合而成的机构或结构。这里构成物体系的构件主要是刚体。因此也称为刚体系统。
若物体系中的每个物体和物体系整体都处于平衡状态,则称该物体系处于平衡状态,研究物体系平衡问题的主要要求如下:
(1)求外界对物体系整体的约束反力。
(2)求物体系内各物体之间相互作用的内力。
(3)求机构平衡时主动力与工作阻力之间的关系。
既然物体系平衡,那么其中任何一构件都平衡,因此求解这类问题时,应当根据题目的具体要求(不外乎上述三种要求),适当地选取研究对象,逐步进行求解。求解物体系平衡问题的关键,在于正确分析、适当选取研究对象,最好在解题之前,先建立一个清晰的解题思路,再按思路依次选取研究对象进行求解。
另外还必须指出,在给定一个力系之后,按照平衡条件所能写出的独立平衡方程的数目是一定的。如一个平面力系,最多有三个独立的平衡方程式,因此从中最多可以求出三个未知量。对于物体系平衡问题也是这样,设物体系由n个物体组成,每个物体上都作用着一个平面力系,则最多可能有3n个独立的平衡方程式。若其中某些物体上作用的力系是汇交力系,平行力系等,则独立的平衡方程式数目还要随之减少。相应地,最多可以由这些方程中求得3n个未知量。这就是说,若物体系所能列出的独立的平衡方程个数与物体系中所包含的未知量个数相同,则这样的问题仅用静力学条件就能求解;若所能列出的独立的平衡方程个数少于未知量总数,则仅用静力学条件不能求出全部未知量。据此分析,可以把物体系的平衡问题分成两大类:
(1)静定问题,即所研究的问题中包括的独立平衡方程的个数与未知量(主要是约束反力)个数相等,这样可以仅依靠静力平衡条件求解全部未知量。静定问题是静力学(严格地说是刚体静力学)研究的主要问题。
(2)静不定问题,即问题中包含的独立平衡方程的个数少于未知量个数。这类问题仅用静力学条件不能求出所有的未知量,这时就要考虑物体的变形,从而列出补充方程,使方程数与未知量数相等,以求出全部未知量。所以,静不定问题的求解已超出刚体静力学的研究范围,这将在材料力学、结构力学等课程中讨论。
静不定问题也称为超静定问题,其未知量总数与独立的平衡方程总数之差,称为该问题的静不定次数或超静定次数。
下面给出几个静不定问题的简例。
图2-23表示两根和三根绳索吊起一个重物。其中图2-23(a)为静定问题,而图2-23(b)为静不定问题。因为该问题为一个平面汇交力系,只有两个独立的平衡方程,可求解两个未知反力。现在有三根绳索,仅依平衡方程不能全部求出三个约束反力(即三绳的张力)。该问题为一次静不定问题。
图2-24(a)表示一个连续梁结构,有三个独立的平衡方程,而结构中包含了五个未知的约束反力,故为二次静不定结构。该梁若没有中间两个活动铰支座,则为一个简支梁,成为一个静定问题,如图2-24(b)所示。对于物体系平衡问题,为了判断其是否静定,应首先将其中每个物体上所受的力系类别分析清楚,进而确定平衡方程总数和未知量总数,以得出静定或静不定的结论。具体做法通过后面的例题加以说明。
图2-23
图2-24
总之,求解物体系平衡问题时,应先判断其是否静定,只有静定的才能用刚体静力学的方法求解。
【例2-7】 静定刚架的荷载及尺寸如图2-25(a)所示,其中P=qa。求支座反力和中间铰处约束反力。
图2-25
解:这是物体系统的平衡问题。刚架由两个物体组成。作用于两个物体上的力系都是平面任意力系,共有六个独立的平衡方程,而未知力的个数也是六个,此物系静定。
先选整体为研究对象,受力如图2-25(b)所示。各力的方向任意假设。列平衡方程
再选左半部分刚架AC为研究对象,受力如图2-25(c)所示(C处反力方向为任意假设)。列平衡方程
由于FAx已经求出,则由前面整体研究的第三个平衡方程,得
本题也可将左、右半部分分别取作研究对象,列平衡方程求解。
【例2-8】 图2-26所示的组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插入墙内,B处为滚动支座。已知F=20kN,均布荷载q=10kN/m,M=20kN·m,l=1m。试求插入端A及滚动支座B的约束反力。
图2-26
解:先以整体为研究对象,组合梁在主动力M、F、q和约束反力FAx、FAy、MA及FB作用下平衡,受力如图2-26(a)所示。其中均布荷载的合力通过点C,大小为2ql。列平衡方程有
以上三个方程中包含有四个未知量,必须再补充方程才能求解。为此可取梁CD为研究对象,受力如图2-26(b)所示,列出对点C的力矩方程
由式(d)可得
代入式(a)、式(b)、式(c)求得
如需求解铰链C处的约束反力,可以梁CD为研究对象,由平衡方程∑Fx=0和∑Fy=0求得。
此题也可以先取梁CD为研究对象,求得FB后,再以整体为研究对象,求出FAx、FAy、MA。
【例2-9】 框架结构见图2-27(a),几何尺寸如图所示。其上作用一个力偶,其矩M=60N·m,求A,B,C,D,E各处约束反力。
解:该结构为静定结构,其中共有七个约束反力(A处两个,C处两个,B、D、E处各一个),折杆CEAB上可列出三个平衡方程,直杆CD上可列出三个平衡方程,ED为二力杆,有一个平衡方程,从而共有七个方程。
解题思路是:注意到整体有三个约束反力,可先取作研究对象,以求得A,B处反力;再取CD作研究对象,求得C,D处三个反力,最后由二力平衡条件确定E处反力。
图2-27
(1)取整体为研究对象,作受力图。为简便起见,在图2-27(a)上表示整体约束反力,由
(2)取CD为研究对象,受力分析如图2-27(b)所示,列方程
解方程组,注意到
由上述计算知,DE杆受压力,其大小为FE=223.6N,方向与FD相反。
讨论:此题还有较为简便的解法。注意到整体上主动力为一个力偶。故A,B处约束反力构成一个力偶与主动力偶平衡。这样,利用力偶系的平衡条件可直接求解
其中FA与FB方向相反。类似地对杆CD亦可采用这样的解法,得
其中FC与FD方向相反。
【例2-10】 如图2-28(a)所示,曲轴冲床机构由圆盘O、连杆AB和冲头B组成。A,B两处为铰链连接,OA=R,AB=l。若不计各零件自重及摩擦,当OA在水平位置、冲头压力为F时,求主动力偶矩M。
解:为求主动力与工作阻力之间的关系,一般从已知条件入手,故可先取冲头B作研究对象,受力分析如图2-28(b)所示。其中FN表示导轨对冲头的侧压力。冲头上作用着一个平面汇交力系,其中FN与FAB为未知力。若求出FN,可再取整体求M,若求得FAB,可由圆轮求M。下面先求FAB。
由几何法,作力三角形,如图2-28(c)所示。显然,
再取圆轮O为研究对象,受力图如图2-28(d)所示。由∑MO=0得
图2-28
【例2-11】 如图2-29(a)所示的平面构架,由杆AB、DE及DB铰接而成,A为滚动支座,E为固定铰链。钢绳一端拴在K处,另一端绕过定滑轮和动滑轮后拴在销钉B上。已知重力为P,DC=CE=AC=CB=2l;定滑轮半径为R,动滑轮半径为r,且R=2r=l,θ=45°。试求A、E支座的约束反力及BD杆所受的力。
图2-29
解:应依据已知与待求量,选取适当的系统为研究对象,并列适当的平衡方程,尽量能使一个方程解出一个未知量。
先取整体为研究对象,其受力如图2-29(a)所示。列平衡方程
由式(a)解得
代入式(b)和式(c)得
为了求BD杆所受的力,应取包含此力的物体或系统为研究对象。取杆DCE为研究对象最为方便,杆DCE的受力图如图2-29(b)所示。
列平衡方程
式中FK由动滑轮、定滑轮和绳索的受力分析可得,FK=P/2(请读者自行分析),则
