第二节　静力学公理

人们在长期的生产活动中发现和总结出一些最基本的、又经过实践反复检验并被证明是符合客观实际的最普通、最一般的规律。这些规律统称为静力学公理。

公理1　力的平行四边形法则

作用于物体上同一点的两个力的合力,作用点仍作用在该点,以这两个力为邻边所作的平行四边形的对角线就是合力的大小和方向,如图1-2所示。

该法则指出了两个共点力合成的基本方法,即合力等于两个分力的几何和。其数学表达式为

由公理1可以得到以下的推论。

推论1　力的三角形法则

设在刚体上的A点处作用着两个力F1和F2,由平行四边形法则可以求得其合力F,如图1-3(a)所示。由于ABCD构成一个平行四边形。故有AC∥BD,于是BD线段的长度和方向就是力矢F2的大小和方向,而三角形ABD中的AD线段,其长度、方向和起点与合力F完全相同。从而也可以由下述方法求力F1与F2的合力:将力F1与F2首尾相接,再由第一个力的起点向第二个力的终点引矢量,则该矢量就是合力矢F,如图1-3(b)所示。这样力F1、F2与合力F构成了一个三角形,称为力三角形。上述求合力的方法称为力的三角形法则。

在应用力的三角形法则求两个共点力的合力时,必须注意力三角形的矢序规则,即:两个分力矢F1与F2要首尾相接,而合力矢F是从第一个分力矢的起点指向第二个分力矢的终点。

作图时分力矢的顺序可以随意确定,例如也可以先作F2再作F1,这样得到的力三角形形状有变化,但合力矢F不变,如图1-3(c)所示。

推论2　力的多边形法则

各个力的作用线共平面且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。设在刚体上A点作用着一个平面汇交力系,如图1-4(a)所示。为简明起见,图中画了四个力F1、F2、F3和F4。为求其合力,可以连续应用力的三角形法则,即先将F1与F2首尾相接,求得它们的合力F'=F1+F2,再将F'与F3首尾相接,求得合力F″=F'+F3=F1+F2+F3,最后将F″与F4首尾相接,求得该力系的合力F,并F=F1+F2+F3+F4=求和过程如图1-4(b)所示。

由图1-4(b)看出:各分力矢与合力矢F一起构成了一个多边形,称该多边形为力多边形。在这个力多边形中,各分力首尾相接,而合力F是多边形的封闭边,其方向由第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点,这就是作力多边形所必须遵循的矢序规则。

若平面汇交力系由n个力组成,其合力矢以F表示,则有

它仍作用在原力系的汇交点上,其大小和方向由各分力首尾相接所得到的力多边形的封闭边确定。

推论3　平面汇交力系平衡的几何条件

由上述多边形法则知:若平面汇交力系有合力,则合力矢由力多边形的封闭边确定,如果所研究的力系是一个平衡的平面汇交力系,这个力系将无合力,即合力矢为零。这样按力的多边形法则作出的力多边形将自行封闭,也就是说第一个力的起点将与最后一个力的终点重合。所以有:平面汇交力系平衡的几何条件是力多边形自行封闭。利用这一条件,可以求得一个平衡的平面汇交力系中的某些未知力的大小或方向。这种研究平面汇交力系平衡问题的方法称为几何法。如图1-5所示,平面汇交力系的合力可用上述方法求得。

公理2　二力平衡公理

刚体只受两个力作用下保持平衡的充分与必要条件是:这两个力等值、反向、共线。图1-6中物体在F1和F2两个力作用下处于平衡状态,于是有

二力平衡条件表明了作用于刚体上的最简单的力系平衡时所必须满足的条件。

公理3　加减平衡力系原理

在作用于刚体上的力系中,任意加上或减去一个平衡力系不会改变原力系对刚体的作用效果。

根据这个原理,为了实现简化力系的目的,可以人为地在刚体上加上或减去任意的平衡力系。这个公理是研究力系等效变换的重要依据。

推论4　力的可传性

作用在刚体上的力可以沿着其作用线在刚体内任意移动。

证明:设在刚体上A点处作用着力F,现在将其沿作用线移到B点,移动过程如图1-7所示。即在B点沿着力F的作用线加上一对平衡力F=-F1=F2,再将力F1与F所构成的平衡力系减去,则在刚体上就只有F2=F作用在B点。

按照这个推论可知:作用在刚体上的力的三要素为力的大小、方向和作用线。

推论5　三力平衡汇交定理

若刚体在三个互不平行的共面力作用下处于平衡状态,则这三个力的作用线必汇交于一点。

该推论的证明,请读者参照图1-8自行给出。

公理4　作用与反作用定律

两物体之间的相互作用力总是等值、反向、共线,分别作用在这两个物体上。

这个定律揭示了物体之间相互作用力的定量关系,表明作用力与反作用力总是成对出现的。这是研究由多个物体组成的物体系统的平衡问题的基础。

公理5　刚化原理

若变形体在某力系作用下处于平衡状态,则将此变形体刚化为刚体后其平衡状态不变。该原理给出了把变形体看做刚体模型的条件。例如一根绳索,在一对等值、反向、共线的拉力作用下处于平衡状态,若将该绳索刚化为一根刚性杆,则这根杆在原力系作用下仍然平衡,如图1-9所示。但是若绳索所受的是一对压力,则不能保持平衡,此时绳索就不能简化为刚体,由此可知,作用在刚体上的平衡力系所满足的平衡条件,只是使变形体平衡的必要条件而非充分条件。