第一节 平面汇交力系的简化

图2 1

各力的作用线汇交于一点的力系称为汇交力系。若各力的作用线都在同一平面内，称为平面汇交力系，如图21所示。

一、几何法

如图2 2（a）所示，在刚体上作用一汇交力系，汇交点为刚体上的O点。根据力的可传性原理，将各力沿作用线移至汇交点，成为共点力系，然后根据平行四边形法则，依次将各力两两合成，求出作用在O点的合力R。实际上，也可以连续应用力的三角形法则，逐步将力系的各力合成，求出合力R，如图22

（b）所示。

图2 2

由图2 2（b）可知，为求力系的合力R，中间求了R₁、R₂等，不难看出，如果不求R₁、R₂等，直接将力系中的各力首尾相连成一个多边形，也可以求出力系的合力，该多边形的封闭边就是要求的力系的合力，如图2 2（c）所示。这种求合力的方法称为力的多边形法则，画出的多边形称为力的多边形。值得注意的是，利用这种方法求合力时，对各分力的先后次序没有要求，只不过分力的次序不同时，得到的力的多边形形状不同，

但只要方法正确，求出的合力的大小和方向是一样的。

二、解析法

1.力在坐标轴上的投影

设有一力F，如图23所示，在力F作用平面内选取直角坐标系Oxy，过力F的起

点A和终点B分别向x轴和y轴作垂线，得垂足a₁、b₁和a₂、b₂，则线段a₁b₁和a₂b₂分

别称为力F在x轴上和y轴上的投影，并分别用F_x和F_y表示。

设力F与x轴所夹的锐角为α，则求力F的投影的表达式为

图2 3

F_x=±FcosαF_y=±Fsin㊣

╮α╯

（2 1）

当由a₁到b₁和a₂到b₂的指向分别与x轴、y轴的正方向一致时取“+”，反之取“-”。在图

2 3中，F_x应取“+”，F_y应取“-”号，即

F_x=+FcosαF_y=-Fsin㊣

╮α╯

（2 2）

需要注意：力是矢量，而力在坐标轴上的投影则是代数量。

2.合力投影定理

设有力系F₁ ，F₂ ，…，F_n，其合力为F。由于力系的合力与整个力系等效，所以合力在某轴上的投影一定等于各分力在同一轴上的投影的代数和（证明从略），这一结论称为合力投影定理。写为

F_x=F_1x+F_2x+…+F_nx=∑F_ix F_y=F_1y+F_2y+…+F_ny=∑F_i㊣

╮y╯

（2 3）

故用解析法求平面汇交力系合力的步骤为：

（1）由式（21）求出各分力在两坐标轴上的投影。

（2）由式（23）求出合力F在两坐标轴上的投影F_x和F_y。（3）由下式求出合力的大小

F_R=㊣F²_x+F²_y=㊣（∑F_ix）²+（∑F_iy）²

（2 4）

合力的方向为

cosα=FF_xR，cosβ=FF_yR

（2 5）

【例2 1】支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相连接，如图2 4（a）所示。已知AC=CB；杆DC与水平线成45°角；载荷F=10kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。

解：（1）选取横梁AB为研究对象。横梁在B处受载荷F的作用。DC为二力杆，它对横梁C处的约束力F_C的作用线必沿两铰链D、C中心的连线。铰链A的约束力F_A的作用线可根据三力平衡汇交定理确定，即通过另两力的交点E，如图2 4（b）所示。

图2 4

（2）根据平面汇交力系平衡的几何条件，这三个力应组成一封闭的力三角形。按照图中力的比例尺，先画出已知力矢ab→=F，再由点a作直线平行于AE，由点b作直线平行于CE，这两条直线相交于点d，如图2 4（c）所示。由力三角形abd封闭，可确定F_C和F_A的指向。

（3）在力三角形中，线段bd和da分别表示力F_C和F_A的大小，量出它们的长度，按比例换算即可求得F_C和F_A的大小。但一般都是利用三角公式计算，在图2 4（b）、（c）中，通过简单的三角计算可得

F_C=28.29kN，F_A=22.37kN

说明：在本题中，有关三角计算过程如下

EB=CB=AC，tanθ=0.5，θ=26.57°

在力三角形abd中，F_A对应的角度是45°，F_C对应的角度是90°+26.57°=116.57°，F对应的角度是180°-（116.57°+45°）=18.43°。

应用正弦定理，有

F_A

sin45°

=F_C

sin116.57°

=F

sin18.43°

其中F=10kN，sin18.43°=0.3161，sin116.57°=0.8944，sin45°=0.7071，经计算

即得

F_C=28.29kN，F_A=22.37kN

根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC的C端的力F′_C与F_C大小相等，方向相反，可知杆DC受压力，如图2 4（b）所示。

应该指出，封闭力三角形也可以如图2 4（d）所示，同样可以求得力F_C和F_A，且结果相同。

【例2 2】如图2 5（a）所示，一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用，已知F₁=

2kN，水平向左，F₂=2.5kN，与水平成30°角，F₃=1.5kN，垂直向下，用解析法求此

力系的合力。

解：如图2 5（a）所示，以三力的汇交点为坐标原点建立坐标系。

图2 5

（1）求各力的投影。

F_1x=F₁=-2kN，F_1y=0

F_2x=-F₂cos30°=-2.5×0.866=-2.17（kN）F_2y=-F₂sin30°=-2.5×0.5=-1.25（kN）

F_3x=0，F_3y=-F₃=-1.5kN

（2）根据合力投影定理求合力的投影。

R_x=∑F_ix=-4.17（kN），R_y=∑F_iy=-2.75（kN）

（3）求出力系的合力。大小

R=㊣R²_x+R²_y=㊣（-4.17）²+（-2.75）²=5.00（kN）

方向

tanα=

RR_yx=42..1775=0.659，则α=33.38°

由于R_x、R_y均为负值，因此合力R在第三象限，α角是合力与x轴负半轴所夹的锐

角，如图2 5（b）所示。