任务四 平面一般力系的平衡
一、平面一般力系的平衡条件、平衡方程及其应用
由任务三可知，平面一般力系向一点简化的结果之一是：主矢和主矩同时等于零。主矢
=0，表明作用于简化中心O的平面汇交力系为平衡力系；主矩mO=0，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。因此，
与mO同时等于零，是力系平衡的充分条件。
反过来，如果物体处于平衡状态，平面任意力系的主矢、主矩必同时等于零。因为，如果
≠0或mO≠0，则平面任意力系就可合成为一个合力或合力偶，于是刚体就不能保持平衡。所以，
=0和mO=0又是平面任意力系平衡的必要条件。
因此，平面一般力系平衡的必要条件和充分条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。
即
由于
所以平面一般力系的平衡方程为
式（3-7）为平面一般力系平衡方程的基本形式。它表明：平面一般力系平衡的必要与充分条件是：力系所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零，同时力系的各力对其作用平面内任一点的代数和也等于零。
平面力系的平衡方程除了式（3-7）所示的基本形式外，还有二力矩式方程和三力矩式方程。若将式（3-7）中两个投影方程中的某一个用力矩式方程代替，则可得到下列二力矩式平衡方程：
附加条件：A、B连线不能垂直于投影轴。否则，式（3-8）就只是平面任意力系平衡的必要条件，而不是充分条件。
若将式（3-7）中的两个投影方程都用力矩式方程代替，则可得三力矩式平衡方程，即
附加条件：A、B、C三点不共线。否则，式（3-9）只是平面任意力系平衡的必要条件，而不是充分条件。
上述三组平衡方程中，投影轴和矩心都是可以任意选取的，所以可写出无数个平衡方程，但只要满足其中一组，其余方程就都自动满足，故独立的平衡方程只有三个，最多可求三个未知量。
【例3-4】 图3-13（a）所示为一悬臂式起重机，A、B、C处都是铰链连接。梁AB自重FG=1kN，作用在梁的中点，提升重量FP=8kN，杆BC自重不计，求支座A的反力和杆BC所受的力。
解：（1）取梁AB为研究对象，其受力图如图3-13（b）所示。A处为固定铰支座，其反力用两分力FAx、FAy表示；杆BC为二力杆，它的约束反力沿BC轴线，并假设为拉力。
（2）选取投影轴和矩心。为使每个方程中未知量尽可能少，避免解联立方程，以A点或B点为矩心，取如图3-13（b）所示的直角坐标系xAy。
图3-13
（3）列平衡方程并求解。梁AB所受各力组成平面一般力系，用三力矩式平衡方程可以求解这3个未知力。
（4）校核：
可见计算无误。
二、几种特殊平面力系的平衡方程
平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系可以看做平面力系的特殊情况。它们的平衡方程均可由式（3-7）导出。
（一）平面汇交力系
若取汇交点为矩心，则式（3-7）中的力矩式方程自动满足，故其平衡方程为
由于只有两个方程，所以最多可以求解两个未知量。
【例3-5】 支架由直杆AB、AC构成，A、B、C三处都是铰链。在A点悬挂重量为FG=20kN的重物，如图3-14（a）所示，求杆AB、AC所受的力。杆的自重不计。
图3-14
解：（1）取铰A为研究对象。
（2）画铰A受力图。如图3-14（b）所示，因杆AB、AC都是二力直杆，它们对铰A的约束反作用力都沿着各自的轴线方向，并设为拉力。
（3）建立坐标系。如图3-14（b）所示，将坐标轴分别和两未知力垂直，使运算简化。
计算结果FAB为正，表示该力实际指向与受力图中假设的指向一致，表明AB杆件受拉；FAC为负，表示该力实际指向与受力图中假设的指向相反，说明AC杆件受压。
（二）平面平行力系
对于如图3-15所示的平面平行力系F1、F2、…、Fn，取Ox轴与各力垂直，则式（3-7）中∑Fx=0恒满足，于是独立的平衡方程就只有两个，即
图3-15
【例3-6】 如图3-16（a）所示水平梁受荷载F=20kN、q=10kN/m作用，梁的自重不计，试求A、B处的支座反力。
图3-16
解：先介绍分布荷载的概念。当荷载连续地作用在整个构件或构件的一部分上时，称为分布荷载。如水压力、土压力和构件的自重等。如果荷载是分布在一个狭长的范围内，则可以把它简化为沿狭长面的中心线分布的荷载，称为线荷载。例如，梁的自重就可以简化为沿梁的轴线分布的线荷载。
当各点线荷载的大小都相同时，称为均布线荷载；当线荷载各点大小不相同时，称为非均布线荷载。
各点荷载的大小用荷载集度q表示，某点的荷载集度表示线荷载在该点的密集程度。其常用单位为N/m或kN/m。
可以证明：按任一平面曲线分布的线荷载，其合力的大小等于分布荷载图的面积，作用线通过荷载图形的形心，合力的指向与分布力的指向相同。
（1）选取研究对象。取梁AB为研究对象。
（2）画受力图。梁上作用的荷载F、q和支座反力FB相互平行，故支座反力FA必与各力平行，才能保证力系为平衡力系。这样荷载和支座反力组成平面平行力系，如图3-16（b）所示。
（3）列平衡方程并求解。建立坐标系，如图3-16（b）所示。
【例3-7】 塔式起重机简图如图3-17所示。已知机架重量FG1=500kN，重心C至右轨B的距离e=1.5m；起吊重量FG2=250kN，其作用线至右轨B的最远距离L=10m；两轨间距b=3m。为使起重机在空载和满载时都不致倾斜，试确定平衡锤的重量FG3（其重心至左轨A的距离a=6m）。
解：为了保证起重机不倾斜，须使作用在起重机上的主动力FG1、FG2、FG3和约束力FA、FB所组成的平面平行力系在满载和空载时都满足平衡条件，因此平衡锤的重量应有一定的范围。
图3-17
（1）满载时，若平衡锤重量太小，起重机可能绕B点向右倾斜。开始倾倒的瞬间，左轮与轨道A脱离接触，这种情形称为临界状态。这时，FA=0。满足临界状态平衡条件的平衡锤重为所必需的最小平衡锤重FG3min。
（2）空载时，FG2=0，若平衡锤太重，起重机可能绕A点向左倾斜。在临界状态下，FB=0。满足临界状态平衡条件的平衡锤重将是所允许的最大平衡锤重FG3max。于是
综上所述，为保证起重机在空载和满载时都不倾斜，平衡锤的重量应满足
（三）平面力偶系
由平面力偶系的合成结果只有一个合力偶可知，若力偶系平衡，其合力偶矩必等于零；反之，若合力偶矩等于零，则原力偶系必定平衡。平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零，即
【例3-8】 如图3-18（a）所示。梁AB上作用有两个力偶，它们的力偶矩分别为m1=15kN·m，m2=24kN·m，l=6m。若梁重不计，试求支座A、B的约束反力。
解：由支座B的性质知，FB的作用线通过铰心B且与支承面垂直。支座A的反力FA作用线通过铰心A但方位不能确定。梁上只有两个外力偶的作用，而力偶只能与力偶平衡，因此FA与FB必组成一个力偶。因而，FA的作用线必与FB的作用线平行，并且大小相等、方向相反。梁AB的受力图如图3-18（b）所示，图中FA与FB的指向是假设的。由平衡方程
图3-18