3.7 实际液体恒定总流能量方程的应用

在应用实际液体恒定总流的能量方程式（3.6.7）之前，根据该方程的推导过程，总结出如下应用条件和注意事项。

1.应用条件

（1）不可压缩液体。

（2）质量力只有重力。

（3）两个过水断面取在渐变流区，以确保常数，两个过水断面之间可以是急变流。

2.注意事项

（1）基准面和压强标准可以任意选取，但是在同一个问题里要统一。

（2）计算点可以在过水断面上任意选取，一般管路取断面中心点，水池、明渠取自由水面上的点。

（3）选取已知量多的断面作为计算断面，例如常选取上游水池水面及管路出口断面，因为上游水池中速度常视为零，自由表面压强为大气压强P_a，管路出口处的压强或为大气压强P_a，或由管路出口处水深决定。

（4）当在能量方程式中同时出现两个未知量时，如压强P和流速v时，可以借助连续方程式联解。

（5）在没有特殊说明时，可以取过水断面上的能量校正系数α=1。

以下两点是对实际液体恒定总流能量方程推广使用的说明。

图3.7.1

（6）当管路分叉时，能量方程仍可用。对于图3.7.1所示的管路可以写出下面两个方程。

式中：H₁、H₂、H₃分别为断面1—1、断面2—2、断面3—3处的总水头；h_w1-2、h_w1-3分别为单位重量液体由断面1—1到断面2—2和由断面1—1到断面3—3的水头损失。

因为断面1—1上每个单位重量液体具有相同的机械能，而能量方程式又是对单位重量液体而言的，所以断面1—1的单位重量液体流到断面2—2和断面3—3时都应该服从能量方程。

（7）当列能量方程的两断面间有能量输入输出时能量方程也仍可应用。只不过当有能量输入（如管路中有水泵），方程式（3.6.8）左端需加上水泵的水头H′，当有能量输出（如管路中有水轮机时），方程左端需减去水轮机的水头H′，只有这样泵和水轮机左右两侧断面上的能量才能守恒。这时的能量方程应写为

式中：H′前取正号相当于水泵，H′前取负号相当于水轮机。图3.7.2（a）是水泵装置图，图3.7.2（b）是水轮机装置图。

设水泵和水轮机的效率分别为η_p和η_t，水头分别为H_P和H_t，则水泵和水轮机的功率分别为

下面我们通过几个具体问题来说明实际液体总流能量方程的应用。

图3.7.2

【例3.7.1】 有一如图3.7.3所示的管路向大气出流，已知：水头H=4m，管径d=200mm，管长l=60m，管路进口的局部水头损失h_j进≈0.5，管路的沿程水头损失随管长直线增加，与管径成反比，即，其中λ称为沿程水头损失系数，λ=0.025，v为管中断面平均流速，管轴线与水平夹角θ=5°，试求：

图3.7.3

（1）管中通过的流量Q；

（2）管路中点C的压强水头。

解：（1）流量Q的计算。以过管路出口断面中心的水平面0—0为基准面，写图3.7.3中断面1—1和断面2—2的能量方程，计算点分别取在水池水面上和出口断面中心，采用相对压强，设管中断面平均流速为v，由于上游水池中流速v₀远小于管中流速v，可以忽略不计，即，则

（2）管路中点C压强水头p_c/γ的计算。仍以0—0为基准面，写断面c—c与断面2—2的能量方程（写断面1—1与断面c—c的能量方程也可以），因为z_c=0.5lsin5°=0.5×60×0.0872=2.62（m），于是有

【例3.7.2】 有一如图3.7.2（a）所示的水泵管路系统。已知水泵管路中的流量Q=101m³/h，由水池水面到水塔水面的高差Δz=102m，中间的水头损失h_w1—2=25.4m，水泵的效率η_p=75.5%，吸水管的直径d_s=200mm，由水池至水泵前断面3—3的水头损失h_w1—3=0.4m，水泵的允许真空度h_v=6m水柱。试求：（1）水泵的安装高度h_s；（2）水泵的扬程水头H_p；（3）水泵的功率N_p。

解：（1）安装高度h_s。吸水管中的断面平均流速为

以水池水面为基准，写断面1—1和断面3—3的能量方程，则得

水泵的工作原理是：水泵叶轮的旋转使水泵进口断面3—3处形成负压或真空，但是，水池水面为大气压强，在两个断面压力差作用下，水池中的水被吸入水泵。又在旋转叶轮的离心力作用下，水泵中的水体被压入压水管，进入水塔。由于叶轮连续旋转，所以水池中的水体连续地被吸入吸水管和压入压水管。当水流中出现真空时，我们习惯采用绝对压强标准，以免在断面3—3出现负的压强值，易出现错误。又水池中的流速v₁同吸水管中的流速v相比可以视为零。于是，上式变为

（2）水泵的扬程水头H_p。此问题属于有能量输入问题，仍以水池水面为基准，写断面1—1和断面2—2的能量方程，则有

采用相对压强p₁=p₂=0，v₁≈v₂≈0，v₂为水塔中流速。于是

H_p=z₂-z₁+h_w1-2=102+25.4=127.4(m)

（3） 水泵的功率N_p。由式（3.7.3），得

【例3.7.3】 如图3.7.4所示，有一矩形断面近似平底的渠道，已知底宽b=2m，渠道在某断面处有一上升坎，坎高P=0.5m，坎前渐变流断面处水深H=2m，坎后水面下降Δh=0.3m，底坎处的局部水头损失为，v₂为图3.7.4中断面2—2的平均流速，试求该渠道中通过的流量Q。

图3.7.4

解：以渠底为基准面，写图3.7.4中断面1—1和断面2—2的能量方程，则有

式中：z₁=H=2m；z₂=H-Δh=2-0.3=1.7（m）；p₁=p₂=p_a=0；h=H-P-Δh=2-0.5-0.3=1.2（m）。

设该渠道中流量为Q，则断面1—1和断面2—2的流速平方分别为

将上面数据代入式（3.7.5），得

由上式解得

【例3.7.4】 试用能量方程导出小孔口和管嘴的泄流量公式。

图3.7.5

解：（1）小孔口泄流。在如图3.7.5所示的水箱侧壁上，开一直径为d的孔口，在水头H作用下，水自孔口泄出。当d/H≤1/10时，可以认为出流断面上的流速与压强均匀分布。

现利用能量方程来推求小孔口的泄流量公式。若水箱较大，可以认为在孔口泄流时箱中水位不变，因此属于恒定流。以过孔口中心的水平面为基准面。选距孔口一定距离的上游断面作为断面1—1，设断面平均流速为v₀，计算点选在自由水面上，其相对压强为零。孔口泄流时，由于惯性作用水股首先逐渐缩细，然后由于空气阻力作用水股的断面又逐渐扩大。这中间水股最细断面c—c称为收缩断面，且认为是渐变流。此断面上的相对压强为零。设断面平均流速为v_c，孔口出流时的水头损失为是小孔口的局部水头损失系数，一般为0.04～0.06。现在写断面1—1和断面c—c的能量方程，则

令

称H₀为包括行近流速水头的总水头，也称作用水头，于是

又令

ψ称为流速系数，一般为0.97～0.98，于是

设孔口的断面面积为A，收缩断面的断面面积为A_c，定义A_c/A=ε为小孔口的收缩系数，一般为0.63～0.64，所以A_c=εA。而流量为

令 μ=εψ

μ称为小孔口的流量系数，一般为0.60～0.62。于是，最后得小孔口的流量公式为

（2）管嘴泄流。如果在图3.7.5的小孔口处外接一个长度l=（3～4）d的短管，则这时在水头H₀作用下形成的出流称为管嘴出流，如图3.7.6所示。它与孔口出流的区别在于：管嘴出口的过水断面面积A大于收缩断面c—c的面积A_c，由连续方程可知v_c>v，又因为出口断面为大气压强P_a，由能量方程可知，收缩断面处将产生真空现象。这样，同孔口相比，管嘴出流的作用水头除了H₀之外又增加了一个真空水头（p_a-p_c）/γ。由实验测得（p_a-p_c）/γ=0.75H₀，此值应小于7m，否则收缩断面处会因压强过低而出现汽化现象。

图3.7.6

与前面求解小孔口问题时相同，仍写断面1—1和断面c—c的能量方程，参考式（3.7.6），则得管嘴的泄流量公式为

式中：μ为小孔口的流量系数，取μ=0.62。

现引入管嘴的流量系数μ_n，则μ_n=1.32μ=0.82。于是，最后得管嘴的泄流量公式为

又μ_n=ψ_nε_n，而管嘴的收缩系数ε_n=1，所以管嘴的流量系数ψ_n=0.82，由此可见，管嘴的流量系数大于小孔口的流量系数。因此在相同的条件下管嘴的出流量约为孔口的1.32倍。

管嘴的工作条件包括以下两个方面。

（1）要求管嘴的长度l=（3～4）d，d为管嘴的直径。如果管嘴太短，收缩断面后的水流来不及扩散成满管，外面的空气就会进入管嘴内部而破坏真空，结果起不到管嘴的作用。如果管嘴过长，收缩断面后的沿程水头损失不可忽略，这就变成后面讲述的管道问题了。

（2）要求管嘴的作用水头H₀小于或者等于9m，如果H₀＞9m，收缩断面处负压过大，液体将会气化，结果反而破坏了真空现象。

【例3.7.5】 试用能量方程导出用皮托管测量流速的公式和用文丘里管测量管中流量的公式。

解：（1）皮托管。皮托管是用来测定流动水流中点流速的一种仪器。图3.7.7（a）为皮托管的原理图，图3.7.7（b）为实际的皮托管装置图。

图3.7.7（a）中是将一根两端开口的细管弯成直角放在管道中，使其一端对准水流的方向，这时水流将进入细管中，水位将沿细管的铅直部分上升，当水位稳定到h₂=p₂/γ时，细管前端2点处的流速变为零，此点称为驻点。与此同时，在管道的侧壁上开一个小孔，装上测压管，水位将上升到h₁=p₁/γ。现对图3.7.7中的1、2点写能量方程，且基准面取在管道的轴线处，则得

由图3.7.7中可知：。可见h₁中不包含流速水头，故称此管为静压管，而h₂中包含静压和流速水头，故此管称为动压管或总压管。这样，上式可以写成为

图3.7.7

由于在写能量方程时没有考虑水头损失，因此由式（3.7.8）算得的流速称为理论流速。实际上是有水头损失的。为了仍用式（3.7.8）计算实际流速，需在式中引入一个系数，即

式中：_ψ为流速系数，它表示实际流速与理论流速之比，由实验率定，一般取ψ=0.98～1.00。

事实上，式（3.7.8）和式（3.7.9）都是由元流能量方程导出的。

（2）文丘里管。文丘里管是量测管道中流量的一种装置。如图3.7.8所示，为一装置在管道中的文丘里管。它由三部分组成：渐缩段、喉管及渐扩段。若欲测管道中的流量，则在管道和喉管处装上两根测压管（或者比压计），用以测得断面1—1、断面2—2上的测压管中水位高差Δh。当已知测压管中的水位差Δh时，应用能量方程就可以计算出管道中通过的流量。现分析如下。

选择水平面0—0为基准面，计算点选在断面1—1和断面2—2的中心。设断面1—1和断面2—2处的位置高度、压强和断面平均流速分别为z₁、z₂，p₁、p₂和 v₁、v₂，先不计水头损失，并且取动能校正系数α₁=α₂=1。这时，写断面1—1和断面2—2的能量方程得

由图3.7.8中可知：

Δh是断面1—1、断面2—2间的测压管水头差，所以

图3.7.8

由连续方程，得

A₁和A₂分别为断面1—1和断面2—2断面的过水断面面积。将式（3.7.11）代入式（3.7.10），得

而流量为

所以

如果令

则

请注意：

（1）当考虑水头损失时，应该在式（3.7.12）和式（3.7.13）中引入一个μ=0.95～0.98的流量系数。μ表示实际流量与理论流量之比。

（2）当用水银比压计测定断面1—1、断面2—2间的测压管水头差时，式中的Δh=12.6Δh_m，Δh_m为水银比压计中的水银柱高差。