一、差分的概念

任意足够光滑的函数f（x）沿x的正向和负向分别用Taylor级数展开，有

于是有

或

由此可给出一阶导数的近似表达式

近似表达式把级数截断了，由此产生的误差称为截断误差E，可以用被截断级数的第一项也是最大的一项来表示

此误差O（Δx）与Δx同阶。对于足够小的Δx来说，误差O（Δx）的绝对值将小于cΔx（式中c为任意常数）。所以为了保证采用差分近似导数时的误差足够小，必须采用足够小的Δx。

由式（2-1a）和式（2-1b）相加，可得f（x）一阶导数的“中心差”近似表达式

被截去的第一项为所以式（2-3）的截断误差为O[（Δx）2]。对于足够小的Δx来说，它比前差和后差有更高的近似，所以数值近似的精度不仅和Δx的大小有关，还和导数取何种差分形式有关。

式（2-1a）和式（2-1b）相减，可得f（x）二阶导数的近似表达式

被截去的第一项为截断误差为O[（Δx）2]。