第一章　地下水数值模拟概述

一、概述

地下水是一种重要的天然资源，它是许多地方工农业、居民生活的重要或者主要水源，有时甚至是唯一的供水水源。近几十年来日益加剧的人类活动对地下水资源的质和量造成了许多负面影响，如过量开采地下水引起的水资源枯竭、海水入侵、地面沉降，“三废”不注意排放造成地下水受到不同程度污染，等等。评估人类活动对地下水质和量的影响，评价地下水资源，预测地下水污染发展趋势，选择最佳防治措施，合理开发地下水，以便可持续地利用地下水资源等当代迫切需要解决的问题，都需要借助于求解地下水流模型和溶质运移模型才能找到比较满意的解答。

模型的种类很多，在地下水研究中常用的有物理模型和数学模型两大类。物理模型以模型和原型之间的物理相似或几何相似为基础，如用渗流槽直接模拟地下水流。数学模型则以模型和原型之间在数学形式上的相似为基础，实际上就是一组能够刻画实际系统内所发生物理过程的数量关系和空间形式的数学关系式（包括数学方程和定解条件）。数学模型可分为确定性模型和随机模型两类。前者出现在模型中的参数都取确定的值；后者模型中含有随机变量。本教材仅针对确定性模型。数学模型又可分为相对比较简单、描述系统特征的参数不随空间坐标变化的集中参数模型，以及相对比较复杂、描述系统特征的参数随空间坐标变化的分布参数模型。一般来说，集中参数模型由常微分方程来表达，而分布参数模型则需要用偏微分方程来表达。对研究地下水流问题和包括地下水污染问题在内的溶质运移问题来说，分布参数模型更为适用。本教材讨论的地下水模型主要针对地下水流问题的分布参数数学模型。

一般可以用两种方法去获得一个描述实际问题数学模型的解：解析法和数值法。用解析法求解数学模型可以得到解的函数表达式。应用此函数表达式可以得到所求未知量（如水头、浓度等）在含水层内任意时刻、任意点上的值。解的精度高，因而称为精确解或解析解。但它有很大的局限性，只适用于含水层几何形状规则、性质均匀、厚度固定、边界条件单一的理想情况，《地下水动力学（第三版）》（薛禹群和吴吉春，2010）中讨论的主要属于这种情况。实际水文地质问题一般比较复杂，如边界形状不规则、含水层是非均质甚至是各向异性非均质的、含水层厚度变化，甚至有缺失的情况。对于一个描述实际地下水系统的数学模型来说，一般都难以找到它的解析解，只能求得用数值表示的在有限个离散点和离散时段上的近似解，称为数值解。求数值解的方法称为数值法。在计算机上用数值法来求数学模型的近似解，以达到模拟实际系统的目的就称为数值模拟。

和其他方法比较，数值法有很多优点，主要有：①模拟在通用计算机上进行，不需要像物理模拟那样建立专门的一套设备。②有广泛的适用性，可以用于水量计算，水位预报以及水质、水温、地面沉降、水资源管理等的计算。各种复杂的含水层、边界条件、水流情况都能模拟出来。数值模拟除了广泛用于上述预报未来、预测某种作用的后果外，还能用来对区域含水系统进行分析以提高对区域水流系统的认识，帮助确定含水层边界的位置和特征，并对系统内水的数量、含水层的补给量等进行正确评估。此外，模型还能用来研究一般地质背景中的各种过程，如研究湖-地下水的相互作用等。③修改算法，修改模型比较方便。④可以程序化，只要编好通用软件，对不同的具体问题只要按要求整理数据就能上机计算，并很快得到相应的结果。它的不足之处是不如物理模拟来得逼真、直观，计算工作量大。这些问题随着当前水文地质工作者已具有比老一代工作者更高的数学水平和抽象能力，以及计算水平的快速提高与数值法的改进早已不成为问题了。⑤与解析法相比，数值法比较灵活、适应性强，适于模拟复杂的水文地质条件，解决复杂的地下水定量计算问题。

解地下水问题的数值方法有多种，但最通用的还是有限差分法（FDM）和有限元法（FEM，也叫有限单元法）。这两种方法的根本差别在于有限元法是建立在直接求函数的近似解基础上的，而有限差分法则是建立在用差商近似表示导数的基础上的。除了这两种方法以外还有特征法（MOC）、积分有限差分法（IFDM）、边界元法（BEM）等。但“只有有限差分法和有限元法能处理计算地下水文学中的各类一般问题”（Yeh，1999）。所以本教材仅对这两种方法作一简单介绍。

有限差分法在20世纪50年代用于石油领域的模拟计算。60年代中期拓宽应用领域，用于解地下水流问题。这种方法有许多优点：①对于简单问题（如均质，各向同性含水层中的一维、二维稳定流问题）的数学表达式和计算的执行过程比较直观，易懂。②有相应高效的算法。对岩性、厚度相对比较均匀的地区，有占用内存少、运算速度快的优点。③精度对解地下水流问题来说一般相当好。④有广泛使用的商用软件如MODFLOW等可以方便地获得。

需要注意的是，差分方法要求解满足方程，所以它必须具有二阶导数。由于含水层透水性变化、厚度变化等原因，地下水流在这些透水性、厚度变化大的部位容易发生突变，上述解必须具有二阶导数的要求往往就无法满足，因而影响计算结果。因此，在透水性变化大的含水层中以及含水层厚度变化大的地区，差分方法不宜采用渗透系数、导水系数的算术平均值，只能采用其调和中项或几何平均值以改善计算结果。对自然边界条件差分法必须进行特殊处理，灵活性一般来说相对要差一些。因此标准的有限差分法在近似不规则边界上不如有限元法方便（但积分有限差分法能和有限元法一样处理不规则边界），对内部边界如断层带的处理以及模拟点源（汇），渗出面和移动着的地下水面等，有限差分法也不如有限元法好。

有限元法在20世纪60年代后期引入地下水模拟中，其优点是：①程序的统一性。有限元法对各种地下水流、溶质和热量运移问题，无论简单的还是复杂的，计算过程基本相同，因而有相同的程序结构，程序编写比较方便，很多例子表明从解一类问题的程序转换为解另一类问题的程序比较方便、简单；②对不规则边界或曲线边界，各向异性和非均质含水层，倾斜岩层以及复杂边界的处理比较方便、简单；③单元大小比较随意，同一计算区内可以视需要采用多种单元形状和多种插值函数以适应水头、浓度等变量的激烈变化或精度要求；④水流问题，物质输运问题解的精度一般比有限差分法求得的解高。有限元法的不足是占用计算机内存比较大，运算工作量也大一些。对于简单问题的处理由于这种方法对简单问题、复杂问题的程序结构相同，和有限差分法比起来，这一不足更为明显，它相对需要较多数学上的处理。但实际问题一般都比较复杂，对复杂问题来说，如前述需要较多数学和程序上处理这种不足就不存在了；相反，对复杂水文地质条件有较大适应性反而成为它的优越性了。占用内存大的问题随着计算机内存的快速提高，大容量计算机的不断出现和数值方法的改进，早已不再是什么问题了。

有限元法虽有这些优点，但也有缺陷，主要是局部区域（某个单元）质量不守恒，有时会影响计算结果；另一个是和有限差分法等共有的缺陷，即渗流速度、流量只能在先求出水头，再由Darcy定律算出渗流速度，渗流速度乘以过水断面面积得到流量，这样做误差较大。至今尚未彻底解决。