任务四　作用于平面壁上的静水总压力

水利工程中的挡水坝、水闸等水工建筑物在设计、施工过程中都需要计算壁面静水荷载来确定尺寸或进行结构分析与计算。例如，确定闸门启闭力，校核闸、坝的稳定等，都需要知道作用于整个受压面上的静水总压力。求静水总压力就是计算受压面上各部分所受作用力的合力，主要确定静水总压力的大小、方向和作用点位置。水工建筑物的受压面一般分为平面和曲面，本任务只研究受力条件较为简单的平面壁上静水总压力的计算方法。

一、静水压强分布图

表示受压面上静水压强分布规律的几何图形，称为静水压强分布图。工程中一般只需画出相对压强分布图。

绘制压强分布图的一般原则是，静水中任意点压强的大小由σ＝γh计算；压强的方向根据静水压强第二特性确定（垂直指向受压面）；用带箭头的线段表示压强的大小和方向，箭杆长度代表压强的大小，箭头指向表示压强的方向。

因工程中常利用矩形平面壁的静水压强分布图来求总压力，所以下面重点介绍矩形平面壁上静水压强分布图（剖面图）的绘制方法。

因静水压强p与水深h为线性函数关系，对于矩形平面壁，沿水深方向静水压强大小必呈直线分布，只要绘出两个点的压强，即可确定直线的位置和斜率。具体做法如下：

（1）选择受压面纵剖面线的两端点，按p＝γh分别计算其压强的大小。

（2）按一定比例绘出两箭杆长度（代表两点压强大小），箭头方向垂直指向两点所在受压面。

（3）标注两点压强大小，连接两箭杆尾部，在封闭图形中标注各点压强大小及方向，如图2－16所示。

图2－17中绘出了几种有代表性的受压面上的静水压强分布图。

静水压强分布图可以叠加，对于建筑物上、下游都受水压力的情况，如图2－17（b）所示，叠加之后静水压强分布图为矩形，这样做可以简化静水总压力的计算。

二、图解法求作用于矩形平面壁上的静水总压力

因平面壁上静水压强分布为平行分布力系，由《工程力学》可知，作用于平面壁上的静水总压力大小就等于静水压强分布图的体积。因矩形平面壁上压强分布图形状规则，能够很容易地根据静水压强分布图求出静水总压力，这种利用压强分布图计算总压力的方法，称为图解法。

（一）静水总压力的大小

图2－16、图2－17中的静水压强分布图均是静水压强分布图的剖面图形。对于矩形平面壁，整个受压面上的静水压强分布图为一棱柱体，压强分布图的剖面图即为棱柱体的底，棱柱体的高即受压面宽度b，若压强分布图的面积用S表示，则棱柱体的体积即作用于矩形平面壁上的静水总压力，其大小为

例如图2－18中，宽为b，高为L，倾斜放置的矩形平板闸门AB，其静水压强分布图的剖面为梯形，梯形上、下底分别为A、B点的压强大小，即γh1和γh2，则作用于闸门上的静水总压力为

（二）静水总压力的方向及作用点位置

由于平行力系的合力方向与各分力方向相同，所以矩形平面壁上静水总压力的方向必然垂直指向受压面。

静水总压力的作用点即总压力作用线与受压面的交点，称为压力中心，用D表示。因受压面纵向对称轴两侧所受水压力相同，故D必位于受压面纵向对称轴上（见图2－18）。又由《工程力学》可知，总压力的作用线必然通过压强分布图的形心，可见压力中心的位置与压强分布图形有关。若压力中心位置用D至受压面底边缘的垂直距离e表示，则

当压强分布图为梯形时

当压强分布图为三角形时

由上可知，图解法求矩形平面壁上静水总压力的步骤如下：

（1）绘制静水压强分布图。

（2）求静水总压力的大小P＝Sb。

（3）确定压力中心位置。

【例2－11】　图2－18中，已知h1＝3m，h2＝6m，闸门宽b＝2m、长L＝5m，水的重度＝9．8kN／m3，求闸门所受的静水总压力。

【解】　（1）绘制压强分布图如图2－18所示。

（2）求静水总压力的大小：

（3）确定压力中心位置：

三、解析法求解作用于任意形状平面壁上的静水总压力

（一）静水总压力的大小

对于任意形状的平面壁，因压强分布图形状不规则，要准确求出其体积很困难，所以图解法不再适用，需要解析法求解，即根据数学及力学原理推导出计算公式，直接用公式求解。

如图2－19所示，在倾斜挡水面上放置一任意形状的平面板，面板所在斜面与水平面的夹角为α，面板面积为A，形心为C，形心淹没深度为hC。

以面板所在平面为直角坐标平面xOy，取坐标平面与水面的交线为x轴，y轴取在面板范围以外。将xOy坐标平面绕y轴转后，可看到其与面板的相对位置，如图2－19所示。下面来分析作用于面板上的静水总压力大小和作用点位置。

在面板上任选一点M，围绕M取一微分面积dA，设M点在液面以下的淹没深度为h，则M点的静水压强为p＝γh。因微小面积dA上的压强可视为相等，所以作用在dA上的静水总压力为dP＝γhdA。由于平行力系的合力等于各分力的代数和，所以作用于整个面板上的静水总压力可通过积分求得

由工程力学可知，上式中为面板对Ox轴的面积矩，它等于面板面积与形心坐标yC的乘积，即＝yCA，若用pC代表形心点的静水压强，则有

式（2－23）表明：对于任意形状的平面壁，静水总压力的大小等于受压面形心处压强与受压面面积的乘积。受压面形心点的压强相当于受压面的平均压强。

（二）静水总压力的方向及作用点位置

进一步来分析静水总压力作用点即压力中心D的位置。根据合力矩定理，面板上静水总压力对Ox轴的力矩应等于各微小面积上的力对Ox轴的力矩之和。各分力对Ox轴的力矩之和可写为

上式中为面板对Ox轴的惯性矩，以Ix表示。因Ix不仅与面板形状有关，还与Ox轴位置有关，直接求解很不方便，因此可先计算出面板对其形心轴（过形心与Ox平行的轴）的惯性矩IC，再根据平移轴定理求出Ix，即，所以有

将式中（2－23）代入上式并整理可得

因式（2－24）中一般大于零（受压面为水平面时因IC＝0，所以），故一般情况下有yD＞yC，即压力中心D总在受压面形心C以下。当受压面为水平面时，yD＝yC（水平面上所有点的y坐标都相同），且因受压面上压强均匀分布，故D点与C点重合。

常见平面图形的面积、形心及IC计算公式见表2－2。

同理，将静水压力对Oy轴取力矩，可求得压力中心的另一个坐标xD。但因实际工程中的受压面大多具有与Oy轴平行的对称轴，且对称轴两侧所受压力相同，则压力中心D必位于对称轴上。

【例2－12】　如图2－20所示一圆形平板闸门，半径r＝0．5m，α＝45°，闸门边缘距水平面深度为1m，求闸门所受的静水总压力。

【解】　根据图及已知条件有