3.3 控制方程组与定解条件
聚合物流体属于一种特殊的非牛顿流体，可以作为连续介质流体处理。因此，传递过程的控制方程可以描述聚合物流体流动的问题。根据质量守恒定律、动量定律、能量守恒定律、流体黏性规律，在3.2节用不同的方法详细推导了连续性方程、运动方程、能量方程。这些方程加上状态方程、热力学能和熵的表达式组成了黏性流体流动的控制方程组。同一个基本方程可以描述不同的流体流动问题。只有确定了初始条件和边界条件后，所描述的流体流动才具有独一无二的形式。
在归纳和汇总黏性流体力学基本方程组的基础上，本节重点介绍如何确定初始条件和边界条件[1-5]，为后面章节的学习打下必要的基础。本节分为两小节，包括黏性流体传递过程的控制方程组、工程问题的初始条件和边界条件。
3.3.1 黏性流体传递过程的控制方程组
在3.2节建立了用矢量表示的微分形式输运方程和积分形式输运方程，也详细介绍这些流体基本方程组直角坐标系和曲线坐标系中的具体表达。为了后面的章节方便使用已经建立的控制方程，本小节仅汇总了矢量表示的微分形式和积分形式的传递过程的控制方程组。在附录1中详细给出了直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的微分形式的控制方程的分量。
本小节汇总传递过程的控制方程，介绍控制方程的基本解法，包括传递过程的控制方程组和控制方程的基本解法两部分。
3.3.1.1 传递过程的控制方程组
控制方程组有微分形式和积分形式的流体力学基本方程组，下面分别汇总。
(1)微分形式的流体力学基本方程组
微分形式流体力学基本方程成立的条件是流体流动的物理参数具有连续的一阶偏导数。因此，用理论方法解决流体流动问题最常用的是微分形式控制方程组。下面汇总几种常用的微分控制方程组。前面的章节都介绍了公式中每一项的物理意义和具体的表示，这里不重复。
① 矢量形式。在3.1节中得到本构方程(3.1.29)，在3.2节中分别得到连续性方程(3.2.8a)、运动方程(3.2.18b)、能量方程(3.2.46)和状态方程(3.2.24)，这些方程构成了描述黏性流体流动的矢量形式的控制方程
控制方程组(3.3.1)方程中有12个独立变量u，p，T，ρ，T，其中速度矢量u有3个分量，对称应力张量有6个独立的分量。控制方程中有1个连续性方程、3个运动方程、1个能量方程、1个状态方程共6个方程，最后描述应力张量与变形速度张量的函数关系的本构方程是6个。可见，控制方程包含12个未知数和12个方程，该方程是封闭方程，理论上可以求解。通过前面的分析，可知本构方程可使运动方程转化用变形速度表示的方程；再者如果没有本构方程，能量方程的摩擦热速率Φ与速度变形速度公式(3.2.38a)也无法确定。可见，必须确定聚合物流体的本构方程，才能全面求解聚合物具体的流动问题。
② 非等温不可压缩均质黏性流体流动的控制方程。假设流体为不可压缩流体，即Δ·u＝0，均质流体的状态方程为ρ＝常数，物性参数μ，α也为常数，将运动方程用速率梯度表示，简化方程(3.3.1)，得
③ 非等温不可压缩黏弹性流体流动的控制方程。聚合物加工成型中，流体为黏弹性不可压缩均质的，有ρ为常数和Δ·u＝0，黏度η为常数，用黏弹性流体的本构方程代替式(3.3.2)黏性流体的本构方程，得
式中，
为黏弹性流体的本构方程，η为表观黏度，Pa·s；
为剪切速率，s－1；
为摩擦热速率。第5章将介绍黏弹性流体的本构方程。
如用应力张量表示运动方程式(3.2.18d)
代入式(3.3.3)，得到控制方程式(3.3.3)的另外一种形式
④ 非稳态非等温不可压缩黏弹性流体流动的控制方程。聚合物材料加工成型过程中，若流体为黏弹性不可压缩均质ρ为常数，流动是层流，即运动方程的u·Δu＝0，略小雷诺数流动，与黏性力相比可忽略质量力；能量方程忽略对流传热项u·ΔT＝0，无内热源
和忽略摩擦热速率Ф，简化方程式(3.3.3)，得
该方程组理论上可以求解。先联立求解连续性方程和运动方程，得到了u，p后，再由能量方程求温度场，最后由本构方程确定应力张量的各个分量。可见，必须确定黏弹性流体的本构方程，才能全面求解问题。
⑤ 非等温稳态不可压缩黏弹性流体小雷诺流动的控制方程。聚合物加工成型过程中，大多数机器都是连续运行的，假设设备流道内黏弹性流体的流动是稳态流动，即
；流体流速缓慢，小雷诺数流动，与黏性力相比可忽略质量力，无内热源
，考虑摩擦热速率Φ，简化方程式(3.3.4)，得
⑥ 等温稳态不可压缩黏弹性流体流动的控制方程。在研究聚合物加工成型过程简单截面流道问题中，一般假定等温流动。当然，没有黏性流体是真正的等温流体，因为流体滑动层之间的摩擦产生热量，称为黏性耗散。但是，可以假定窄流道的慢速黏滞流动为等温稳态流动u≠u(T)，不用求解能量方程。黏性力远大于质量力，忽略质量力，稳态黏弹性流体的流动
。这些假设极大地简化问题，简化方程式(3.3.6)，得到简单的控制方程，为
如用应力张量表示运动方程，得到控制方程式(3.3.7)另一种形式
根据具体求解实际问题的方便，确定使用变形速度表示的控制方程式(3.3.7)，还是应力张量表示的控制方程式(3.3.8)求解问题。
(2)积分形式的流体力学基本方程组
微分形式流体力学基本方程成立的条件是流体流动的物理参数具有连续的一阶偏导数。如果在流体中某局部上出现流体微团的物理参数发生间断现象，在间断面上就不能使用微分形式的运动方程，可以使用积分形式的运动方程，因为在间断面上积分形式方程组仍然成立和正确。积分形式的动量和动量矩方程常被用来研究流体或流体与固体作用的某些总体性质。
3.3.1.2 控制方程组的基本解法
求解控制方程组(3.3.1)至方程组(3.3.9)的基本解法有两类，分别是解析法和数值法。这里简述这两种解法[5]。
(1)解析解法
描述聚合物流变的控制方程都是复杂的非线性二阶偏微分方程，微分形式和积分形式控制方程组都含有二阶偏微分项和非线性项u·Δu和u·ΔT，而且自变量u，T是耦合的，不能独立求解。聚合物工程问题很复杂，必须做出必要合理的假设以简化问题，才能求解控制方程。一般不能直接求解析解。非线性的控制方程组只有在简单特殊情况下才有解析解。但是，在简单特殊情况下，分析聚合物加工成型过程的简化方法是理解加工成型过程的基础。第6章将分析简单截面流道聚合物流体的流动，第7章将分析聚合物典型加工成型过程的流动。针对每一具体问题将给出简化的假设条件，学习如何简化工程问题和求解具体问题的控制方程。
(2)数值解法
差分方法的经典著作于1957年问世，直到有了电子计算机和现代计算技术极大地发展，近似计算方法才得到了广泛应用和发展，求解非线性偏微分方程成为可能。在计算机平台上，使用流体力学计算软件，把工程问题的区域划分成许多微小的网格，在各网格或各小区域中求解流动的控制方程，通过反复计算迭代，提高近似解的精度得到最终解。数值解与解析解本质上是不同的，数值解不能得到在整个区域无限维所有点均能满足的解的表达式，仅能得到区域内网格化后离散节点（有限维）上解的近似值。第9章将介绍数值模拟的解法。
3.3.2 工程问题的初始条件和边界条件
传递过程的控制方程是偏微分方程，它的一般解（通解）包含有任意函数，一般解的形式是不确定的。一个特定形式的偏微分方程可描述许多物理现象的共性规律，它可以有许多不同形式的特解。因此，传递过程的控制方程是描述一类有共性物理现象的泛定方程，它可以有很多不同形式的特解。在数学上只有给定了初始条件和边界条件，描述问题的控制方程才能有唯一确定的解。也就是说，描述不同的流体流动问题的基本方程可以是一样的，只有确定了初始条件和边界条件后，所描述的流体流动才具有独一无二形式的解。
一个描述工程问题完整的数学模型必须包括基本方程与描述某一过程特点的初始条件和边界条件。求解某个工程问题，泛定方程固然重要，定解条件也对问题的解起决定的作用。在工程中就是选择什么样的设备，使用什么工艺条件，才能配合泛定方程构成工程的定解问题，这是科研工作需要解决问题的难点。
必须限定该问题的起始状态和特定环境，即给出初始条件和边界条件确定问题的特殊性。边界条件给出关于空间变量的约束条件。当方程包括时间变量时，必须给出初始条件。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件。泛定方程与定解条件作为一个整体而提出的问题叫作定解问题。也就是说，“泛定方程”加上“定解条件”就构成一个确定的物理过程的“定解问题”。非常有必要介绍与流体流动相关常用初始条件和边界条件[1-5]。
本小节介绍控制方程描述的问题的起始状态和特定环境，包括初始条件和边界条件两部分内容。
3.3.2.1 初始条件
对于随着时间而发展变化的问题，必须考虑研究对象的特定“历史”，追溯到研究对象在早先某个“初始”时刻的状态，即初始条件。就是说，研究问题还必须考虑历史的状态，不能割断历史。初始条件考虑和研究对象初始时刻的状态，即在初始时刻物理量的初始状态。在初始时刻t＝t0时，流体流动应满足的初始状态。
只有初始条件无边值条件的定解问题，称为初值（始值）问题，也称柯西问题。根据方程的性质和特点，确定初始条件。偏导数的阶数决定了初始条件的个数。控制方程有时间的二阶导数，积分后有两个常数，因此需要两个初始条件。
(1)一个初始条件
对于扩散和热传导的传递过程，方程中含有对自变量t的一阶偏导数，仅需要给出一个初始条件，即说明因变量速度u(r，t)、压力p(r，t)、密度ρ(r，t)和温度T(r，t)的初始分布，分别为
式中，u0(r)，p0(r)，ρ0(r)，T0(r)为已知函数或常数。
(2)两个初始条件
对于弦振动、声波和水波等振动问题，方程中含有对时间变量的二阶偏导数，需给出两个初始条件。例如，对于波动方程[8]
除了给出初始“位移”，还需给出因变量初始“速度”，即因变量一阶导数初始时刻的条件，分别为
(3)没有初始条件的问题
如果研究流体的定常流动，就不存在初始条件。大多数工程问题，研究系统稳定后流体的定常流动，就不必要考虑初始条件。研究的物理问题与时间变量无关u≠u(t)，输运控制方程可简化为拉普拉斯方程。例如稳定温度场、稳定浓度场和稳定流场。特别要注意的是，初始条件给定的是整个流体系统的状态，而不是某个局部的状态。例如，当t＝0时，温度T(x，y，z，t)|t＝0＝T0，说明了初始时刻系统空间各点的温度都等于T0。有的初学者会错误地认为T0是某个局部的状态，错把T0当成系统入口的温度。实际上系统入口的温度是边界条件。
3.3.2.2 边界条件
在同一类物理现象中，各个具体问题有其特殊性，物理规律不反映个性。为了解决具体问题，还必须考虑所研究区域的边界处在怎样的状态下。也就是说，研究具体的工程系统，必须考虑研究对象处在什么样的特定“环境”中，而周围“环境”的影响通过边界传给被研究的对象，所以周围“环境”的影响体现于所处的物理状态，即边界条件。也就是说，边界条件指的是流体运动边界上方程组的解应该满足的条件。它的形式多种多样，需要具体问题具体分析。
因为一维二阶微分方程中有二阶导数，积分后，有两个积分常数需要确定。因此，对于一维二阶微分方程需要两个边界条件。而对于二维或三维二阶微分方程，则分别需要4个或6个边界条件。在介绍边界条件数学分类的基础上，概括介绍流体流动中常用的6种边界条件。
(1)边界条件的数学分类
在数学上，边界条件一般可分为3种类型。
①第一类边界条件给出未知函数u(M，t)在边界上的值，可以是随时间t变化的数值。即已知函数在边界上的值，也称狄利克莱Dirichlet条件。只具有第一类边界条件的问题称为狄利克莱Dirichlet问题。以M0表示边界∑上的动点，边界条件为
在直角坐标系中，第一类边界条件表示为
u(x，y，z，t)|∑＝f(x0，y0，z0，t)
② 第二类边界条件给出未知函数u(M，t)的导数在边界上的值，即已知函数在边界上的导数值，称为诺埃曼Neumann条件。只具有第二类边界条件的问题称为诺埃曼Neumann问题。
对于二维和三维问题，如温度梯度用边界的外法向导数表示为
在直角坐标系中，第二类边界条件表示为
③ 第三类边界条件给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系，称为混合边界条件，即Robin条件。只具有第三类边界条件的问题称为Robin问题或第三边值问题。
例如，当表面散热速率受传热系数控制时，热量从单位表面移出的速率为k(T∞－T)，热量传导至单位表面积的速率为±κ∂T/∂x，这两个速率必然相等，因此有第三类边界条件
式中的正号和负号决定于边界坐标的外法向的正负号。
由上面的讨论可知，第三类边界条件规定边界上的数值与外法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系。一般第三类边界条件可表示为
在直角坐标系中，第三类边界条件表示为
三类边界条件式(3.3.12)、式(3.3.13)和式(3.3.14)中，当f≡0时，为齐次边界条件，反之为非齐次边界条件。
以上三类边界条件可以统一写为[5]
式中，∑代表边界，n是边界的外法线，α，β是不同为零的系数，f是已知源函数。
当α＝0，β≠0的是第一类边界条件；α≠0，β＝0的是第二类边界条件；α≠0，β≠0的是第三类边界条件。
(2)流体流动中常用的边界条件
综上所述，边界条件指的是边界上基本方程的解应该满足的条件，它的形式是多种多样的，需要具体地分析不同问题和不同场合的边界条件。
在介绍边界条件以前，强调一个重要问题，必须注意区分边界条件与系统中的外力或外源。初学者常会把边界条件写进泛定的控制方程。举一个例子，一维扩散问题，若在系统的某一端点x＝l有强度为q粒子流注入。这注入的粒子流是一种边界条件，即
。可是，有些初学者常错误地认为注入的粒子流是外源，把它错误地写进了泛定方程ut－α2uxx＝q/cρ。而这个方程描述的是处处有粒子流注入整个系统，其强度处处是q，源密度函数是q/cρ。这两个问题是完全不同的。
根据流体流动的特点，介绍6种常用的边界条件，包括自然边界条件、无穷远处的边界条件、固体壁面上、两介质界面处的衔接条件、自由表面处和无界问题。
① 自然边界条件。在柱坐标系中，对于轴对称问题，如当r＝0时，温度、浓度等物理量u是有限值，有自然边界条件
式中，第一个式子是第一类边界条件，第二个式子是第二类边界条件。
② 无穷远处的边界条件。如在无穷远处来流的温度、压力、速度和密度分别表示为
可见，无穷远处的边界条件是第一类边界条件。
③ 固体壁面上。在流体绕流物体时，固体壁面处边界条件是两介质界面处边界条件的重要特例，此时两介质中一相是固体，另一相是液流或气体。固体壁面上流体的速度、温度应等于固体壁面在该点的速度、温度，边界条件分别为
以及固体壁面上流体的热流量应等于固体壁面在该点的热流量，有
由于黏性流体的黏性，流体黏附在固体壁面上。若固体壁面静止时，固体壁面上流体的速度应等于零，即壁面的无滑移条件或黏附条件为
在连续介质假设的条件下，可以忽略壁面滑移的速度。在无滑移条件下，研究牛顿流体的宏观运动，可以得到有足够精确度的解。对于非牛顿黏性聚合物流体需要考虑壁面的滑移条件。
若流体是理想流体，由式(3.3.21)和式(3.3.23)，边界处流体的法向速度为
和
④ 两介质界面处的衔接条件。当研究问题的对象是两个系统，必须给出两个系统在边界上的衔接条件，即耦合条件。衔接条件可看作一种过渡区条件，只要过渡区很小，将研究的两个系统作为一个整体，需要给出两介质界面处的衔接条件。两介质的界面可以是固体、液体和气体三相中任意两相，也可以是同一相的两个不同组分介质的界面。例如气体绕流物体，物体的表面是气固两个介质的界面。在聚合物加工设备中常遇到液固两个介质的界面。
若界面处两介质不互相渗透，并且在运动中满足不发生界面分离的连续条件，即在界面处速度的法向分量应该连续
若两介质处于运动状态，或在热力学上处于不平衡状态，用分子运动论分析可知，由于流体的黏性和传热性，两界面间的分子运动输运过程，促使两界面的分子交换输送动量和能量，使界面处的速度和温度趋于均匀。也就是过了一段时间后，切向速度和温度将变成连续的。因此，一般假设在真实流体的两个界面处，切向速度分量和温度也应是连续的，有
两个固体介质接触表面法向传递的热流量应守恒。例如，两个内外壁是紧密接触的圆柱筒壁面，内筒外径为a，在r＝a处有衔接条件
不同于速度和温度，由于介质1和介质2互不相混，在两介质界面上，密度必然是间断的，有
⑤ 自由表面处。自由表面处的边界条件是属于两界面处的边界条件。一个重要例子是正常条件下气体和液体界面处的边界条件，由于气体和液体界面处的切向应力是连续的，即自由表面处的边界条件为
虽然气相不一定处于静止状态，但是大大小于液相运动，有μ气/μ液≈0，由式(3.3.30)知，在自由表面上μ液∂u/∂y＝0。即可以忽略表面张力，有
在理想流体的情况下，忽略表面张力，液体表面的压力等于气相的常压
若考察理想流体，即忽略分子的输运过程，此时两介质界面处切向速度和温度可以是间断的。
⑥ 无界问题。物理系统总是有限的，必然有边界，就有边界条件。但是，当研究的对象在某一维尺度特别地大，可忽略边界的影响时，可以科学地处理为没有边界的问题。例如，研究一根无限长杆的传热问题，就可忽略杆长度方向边界的影响。没有边界条件的问题称为无界问题。所以说，“半无界的”和“无界的”是一种科学的抽象。
上述对边界条件的介绍讨论，没有严格的推导。读者有兴趣可参看本章参考文献的相关内容。