第2章 流变学的数学物理基础

人类认识物质世界的历史是相当悠久的，对物性——物质对光、声、热、力和电等作用的响应——的理解和利用是自身进步和社会发展的根本因素。其中人类感知并运用得最早的无疑应当是力学性质了[1]。1827年就建立了黏性流体力学运动方程，系统地建立了黏性流体力学的学科。

聚合物流动与变形的黏性流体动力学响应完全与经典流体力学的线性流动相背离。聚合物液体流动体系兼有液、固双重性质，表现出比经典力学复杂得多的性质。一是体系受外力作用后，既有黏性流动，又有高弹形变。当外力释去时，仅有弹性形变可恢复，而黏性流动造成的永久形变不能恢复。二是聚合物液体流动中表现出的黏弹性，偏离由胡克定律和牛顿黏性定律所描述的线性规律，模量和黏度均强烈地依赖于外力的作用速率，而不是恒定的常数。更重要的，此时应力与应变之间的响应，不是瞬时响应，即黏性流动中的力学响应不是唯一的决定于形变速率的瞬时值，弹性形变中的力学相应也不是唯一地决定于形变量的瞬时值。由于聚合物的力学松弛行为，以往历史上的应力（或应变）对现实状态的应变（或应力）仍产生影响，聚合物材料自身表现出对形变的“记忆”能力。另外，遥远“过去时”的应力（或应变）比新近不久时的应力（或应变）对现在时刻的应变（或应力）的影响要小得多，即材料的“记忆”有“衰退”效应。因此经典力学线性理论中基于无限小形变定义的任何形变度量在聚合物的流动中均失去了度量意义。

为了研究流体的非线性黏弹行为产生了流变学。流变学的目的不仅是探索一种正确的认识论，而且重要的是寻求一套完整的方法以便用严谨的数学描述材料流动和变形的力学响应。在材料观上，流变学对经典的力学理论有两个方面的突破，一是打破了固体响应和流体响应之间的死限；二是打破了力学响应的线性模式。聚合物流变学是非牛顿流体力学在聚合物流体流动的应用，学习聚合物流变学必须具备一定的数学物理基础和流体力学知识，才可能正确地研究聚合物液体的非线性黏弹行为。建议数学基础较差的读者认真学习本章内容，认真推导本章的例题和完成所有的练习题，提高认知和运算能力。

聚合物流变学的数学物理和流体力学的基础涉及许多物理概念和复杂的数学运算方法，考虑到读者的基础和学习便利，本章尽量采用形象简明、深入浅出的方法，借助于线性理论的概念介绍流变学的数学物理基础[1-10]。

本章首先介绍矢量分析的数学知识，再用矢量分析的工具介绍二阶张量的性质和运算；在此基础上，介绍流体运动的描述和传递过程的重要定律，最后介绍场论基本知识。本章分为4节，包括矢量分析、二阶张量、流体运动的描述和基本定律、场论概述。