1.1.1 莱布尼茨父子
弗里德里希·莱布尼茨[2]（1597—1652）曾是一名教会律师、公证员、登记员，在莱比锡大学（University of Leipzig）取得硕士学位后，担任过该校精算师，并于1640年成为该校道德哲学教授。他是著名数学家哥特弗里德·威廉·莱布尼茨的父亲。截至2016年年初，他在数学谱系计划上已记载的学术传人总数已超过了12万人，而且人数还在不断增加。
哥特弗里德·威廉·莱布尼茨[3]是历史上少有的通才，在数学、哲学、物理学、语言学等多个领域都卓有成就，被誉为17世纪的亚里士多德，被伯特兰·罗素称为“一个千古绝伦的大智者”。
1646年7月1日，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨（见图1-3）出生在德意志东部名城莱比锡。不到15岁，莱布尼茨便到莱比锡大学攻读法律。20岁那年他递交了一篇出色的博士论文，但不幸论文被拒，加上此前母亲去世的打击，他离开了故乡。第二年年初，纽伦堡的一所大学授予他博士学位，但他并没有接受该校教授职位的聘书。
图1-2 部分数学谱系图
图1-3 哥特弗里德·威廉·莱布尼茨
莱布尼茨是在大学学习欧几里得《几何原本》时，对数学产生浓厚兴趣的。因为17世纪的大学仅是教会的附庸，大多数数学家处在亚里士多德的经院哲学阴影的笼罩之下，莱布尼茨只能利用业余时间从事研究工作，他不但完成了微积分学的发明，同时还开启了另一个新的数学分支——“离散”的组合分析，然而后一个数学思想直到19世纪乃至20世纪才变得真正重要起来。
图1-4 克里斯蒂安·惠更斯
在莱布尼茨取得博士学位的第二年夏天，他在一次旅途中遇到了美因茨选帝侯（选帝侯是有权选举罗马皇帝的诸侯，美因茨选帝侯是选帝侯院之首）的前任首相。莱布尼茨随其前往莱茵河畔的法兰克福，后来作为选帝侯法律顾问助手被派往巴黎。在巴黎莱布尼茨幸运地遇到了来自荷兰的数学家惠更斯，惠更斯是钟摆理论和光的波动学说的创立者（见图1-4）。莱布尼茨很快意识到自己在科技落后的德国所受教育的局限性，因此虚心地向其请教，尤其在数学方面，得到了惠更斯的悉心指导，加上莱布尼茨的勤奋和天赋，当他离开巴黎的时候，已经完成了主要的数学发现。
莱布尼茨这个“千古绝伦的大智者”，不但创造了难以企及的数学传奇，更为人工智能的发展奠定了基础。[4]莱布尼茨第一个重要的数学发明是二进位制，他用数字0表示空位，数字1表示实位。这样一来，所有的自然数都可以用这两个数来表示了，例如，（3）10=（11）2，（5）10=（101）2。他本人后来确认，中国人在3000年前的《易经》64卦里就藏匿了这个奥妙。与此同时，莱布尼茨改进了帕斯卡的加法器（见图1-5），也研制成了机械计算机（见图1-6），以便用来计算乘法、除法和开方，而当时一般人都还不太会乘法运算。遗憾的是，莱布尼茨并没有把自己创立的二进位制用于他研制的计算机。
莱布尼茨在数学上的最大贡献无疑是在无穷小的计算方面，即微积分学的发明。这是科学史上划时代的贡献，得益于这一发明，数学开始在自然科学和社会生活中扮演极其重要的角色。莱布尼茨与英吉利海峡对岸的牛顿同时发明了微积分理论，但他们两人是独立完成发明的，并且所用的方法不同。牛顿使用的“流数法”有着运动学的背景，其推导更多是属于几何学的，而莱布尼茨则受到帕斯卡的特征三角形的启发，他的论证更多地用到了代数学的技巧（见图1-7）。
图1-5 帕斯卡的加法器
图1-6 莱布尼茨的计算机
图1-7 莱布尼茨的微分学原理
正是由于代数学方法的使用，加上莱布尼茨本人对数学形式有着超人的直觉，使得我们今天熟知的微积分学教程基本上都采用了他的表述方式和符号体系。除此以外，莱布尼茨还创立了形式优美的行列式理论，并把有着对称之美的二项式理论推广到任意个变数上。甚至他从巴黎来到伦敦旅行期间还发现了圆周率的无穷级数表达式：
关于微积分，莱布尼茨与牛顿有“优先权之争”，莱布尼茨十分赞赏一度旅居巴黎的英国哲学家霍布斯的论断——所有推理都是计算，这或许是他发明计算机的一个动力。同样，这一论断也推动了他在逻辑学方面的大部分工作。
逻辑学是研究人类思想的符号系统的，它融会了数学家和哲学家的智慧。亚里士多德创立了三段论和换位理论等古代逻辑学基本原理，但都是直接的而非推理的形式。莱布尼茨则重视建立在思想字母表上的普遍语言即一般的推理演算和一般方法论，同时成功地用数学方法解释了亚里士多德的三段论。
莱布尼茨意识到了命题的内涵和外延之间的不同，并认同内涵的独立性，这意味着，即使没有独角兽，“所有独角兽都有角”这类命题仍是正确的。更重要的是，莱布尼茨建立了纯形式的逻辑演绎系统，在一篇名为《真实加法的计算法研究》的论文中，他给出了24个命题，包括我们现在熟知的一些逻辑学结果。例如，A在B中，B在C中，则A在C中；A=B且B≠C，那么A≠C；A8B≠A+B，等等。除此以外，他还指出代数的某些内容有着非算术的解释。这一逻辑数学化的设想在两个世纪以后由英国逻辑学家布尔实现了，他建立起了逻辑代数，即今天所说的布尔代数，这又和莱布尼茨发明的二进位制产生了联系。进入20世纪，在英国诞生了一位逻辑学家，他就是被誉为“电子计算机之父”的图灵。