2.2.2 大长径比环形密封间隙激励力及其等效动力学特性

高压多级离心泵设计中，除“背靠背”排布叶轮外，常设有中间衬套、平衡鼓、平衡盘等用于平衡轴向力，此类液体环形密封环长径比大于0.75，与口环密封等长径比较小的环形密封相比，此类密封环流在压差及高转速的作用下，不仅要考虑动环（一般为轴或热套在轴上的轴套）的平动，同时需要考虑由于动环轴向两端面不同步运动造成的转动。因此，在小扰动模型下结合Childs提出的考虑转矩因素的有限长解法进行此类间隙流体激励力及其等效动力学特性参数的求解。该模型选取间隙内液体微元为控制体，将两端面的不同步运动简化为以动环中心轴面为转动中心的转动，Oxy平面内的简化物理模型对比如图2-4所示。由图2-4a所示，长径比较小的动环涡动以平动为主，即两端面同步运行，端面内对应相同相位点的连线（图中aa′、bb′）与z轴始终保持平行；如图2-4b所示，长径比较大的动环涡动以平动与转动共同组成的复合运动为主，即两端面异步运行，端面内相位相同点的连线（图中dd″）绕y轴产生一较小锐角α_y的摆动，绕x轴产生一较小锐角α_x的摆动；考虑转矩的线性小扰动模型下，对间隙流体力、转子运动状态及动特性系数进行了补充定义，如下^[75]：

考虑到动环转动是围绕x及y轴转动的复合运动，考虑轴绕x、y轴转动的转角分α_x、α_y的作用，则该环形密封的半径间隙可表示为

其一阶摄动形式为

即-εh₁=r+α，其中，r=x+jy，α=α_y-jα_x，引入运动的复数形式可得^[79]：

将以上各式代入式（2-2）、式（2-3）、式（2-4）组成的运动方程组中，可得式（2-24），如下^[79]：

由式（2-24）可知，平动与转动对环形密封间隙内流场的变化呈线性叠加作用，故可以将以上微分方程分解为两部分分别求解，并将计算结果进行线性叠加。对比小长径比环形间隙内流体微元一阶微分方程组可知，式（2-24）中平动引起的一阶微分方程与小长径比微分方程形式与参数均一致，可直接利用2.2.1部分所示求解方法进行求解。由转动引起的一阶微分方程，其形式与平动方程组形式一致，且方程间隙进口、出口压力与速度边界条件一致[式（2-17）及式（2-18）]，可沿用打靶法对方程组进行求解，并利用牛顿法对所设初值进行不断改进至达到收敛条件为止。由平动及转动引起的微分方程组[式（2-24）]的解可分别简化表示为

平动：

转动：

对原作用于转子上的反作用力进行无量纲化处理，得到其无量纲定义表达式，如下^[79]：

将周向与轴向压力分量表达式进行面积分可得环形间隙内非定常流体激励力与力矩，结合动力学特性参数的线性定义，可得^[75]：

由以上周向与轴向力的分析可知，在任意涡动频率下，均可通过所求得的轴向与周向无量纲压力分布函数f_3re（z）、f_3im（z）、f_6re（z）、f_6im（z）沿Z轴的积分求得。在求解过程中，六个动力特性系数组成唯一的一组由两个方程组成的六元一次方程组。对于某一固定工作转速N，可取涡动频率为0、0.5、1.0、1.5、2.0倍的工作转速，组成5组六元一次方程组，每三组方程可求解出一组动特性系数，5组方程排列组合共求解10组动特性系数并求其平均值。该求解方法可实现叶轮口环、级间密封等长径比小于0.75的环形间隙在不同几何尺寸、操作工况下的非定常流体激励力及其动力学特性系数（主刚度系数、附加刚度系数、主阻尼系数、附加阻尼系数及主附加质量系数）的求解，进而完成考虑非定常流体间隙流体激励力的转子系统动力学特性与动力学行为计算。