2.4　交通优化问题中的用户选择行为分析

2.4.1　交通流分配问题及用户均衡的概念

交通流分配问题是在已知交通网络结构、网络各路段的阻抗函数和OD矩阵（各OD对之间的出行量）的情况下，研究如何将OD矩阵按照一定的准则分配到交通网络上，从而获得每条路段上的交通流量，以便对各条路段的负荷水平和交通网络的使用情况做出评价。交通流分配问题可以为交通网络规划、设计和决策提供依据。显然，对该问题的一个基本要求就是所得到的路段交通流量应该尽可能地符合实际交通情况。

实际中，交通网络上形成的交通流量分配状况是两种机制相互作用直至平衡的结果。一方面，出行者试图通过选择最佳出行线路来达到费用最少的目的；另一方面，出行者遇到的阻抗（即广义费用）与系统被使用的情况密切相关，道路上的交通流量越大，对应的行驶费用就越高。这里的费用可以被理解为包括所有影响出行的因素，如时间、成本、方便舒适程度等。但在实际研究或应用中，时间通常是唯一的度量标准。这是因为：其一，经验研究表明，时间是影响流量的主要阻力；其二，几乎所有其他因素都与时间正相关；其三，时间易于测量。因此，即使用到其他阻抗度量指标，也常常是将这些指标转换成时间来度量。

人们在研究过程中逐渐认识到，正确的交通流分配方法应该能较好地再现真实的交通状态，而这种真实的交通状态正是交通网络用户在上述两种机制相互作用下做出的出行路径选择的结果。基于这种认识，以交通网络出行者的路径选择行为分析基础的用户均衡配流理论逐渐发展起来，并得到了广泛应用。

交通流分配问题的一个关键点是假设出行者遵循什么样的行为准则。Wardrop于1952年提出的Wardrop均衡配流原则是最为广泛使用的原则。该原则假设所有出行者都独立做出决策，力图选择阻抗最小的路径；所有出行者都能随时掌握整个交通网络的状态，精确计算出每条路径的阻抗，从而做出完全正确的路径选择决策；所有出行者的计算能力和计算水平相同。在上述行为准则假设所导致的最终交通流量分配状态里，同一OD对之间所有被使用的路径（即有流量通过的路径）的阻抗相等，且不大于任何未被使用的路径（即没有流量通过的路径）的阻抗，没有任何出行者能够通过单方面改变自己的路径来达到降低自己阻抗的目的。这种交通流量分配的状态被称为用户均衡状态。Beckmann采用如下数学形式来描述用户均衡状态：

其中，为用户均衡状态下OD对i, j之间的通行阻抗，为OD对i, j之间的第p条路径上的通行阻抗，为该路径上的流量，为OD对i, j之间的所有路径的集合。

2.4.2　用户均衡配流问题

基础的用户均衡配流问题，即在流量分配过程中，各OD对之间出行量固定的用户均衡配流问题的数学规划模型，如下所示：

s.t.

其中，是路段a上的交通流量；A是交通网络的路段集合；I和J分别是交通网络起始点和目的地的集合；是OD对i, j之间的出行量；表示路段a和连接OD对i, j的第p条路径的关系，如果a在第p条路径上，，否则是路段a的阻抗函数，表示路段a的阻抗随着路段a的流量变化而变化的关系。当流量增加时，由于车辆之间的相互影响（即拥挤）和路口的排队等待时间变长，路段阻抗会单调上升，因此阻抗函数是流量的增函数。阻抗函数的具体形式和参数设定取决于路段的物理特征，如长度、宽度、容量、路面质量、管理水平、路口交通灯的绿信比等。

上述模型又被称为Beckmann变换式。约束条件式（2.9）表示路径流量和OD对出行量之间的守恒关系。约束条件式（2.10）保证所有路径上的流量非负。约束条件式（2.11）表示路段流量和路径流量之间的关联关系。目标函数式（2.8）是交通网络上所有路段的阻抗函数的积分之和，其本身没有直观的经济含义。基于上述构造，可以很容易地证明上述模型存在唯一解，且该唯一解等价于Wardrop均衡配流原则。

上述模型是一个凸规划问题，常用的求解方法有Frank-Wolfe法和MSA法。本书后续章节将会应用到该模型，并采用Frank-Wolfe法求解，算法具体过程如下。

第1步：初始化。令路段a的初始阻抗，∀a∈A。用全有全无网络加载方法将所有OD对的出行量加载到交通网络上，即每一对OD对ij的出行量都全部被加载到其某一条最短路径上，得到初始路段流量，令迭代次数n=1。

第2步：更新路段阻抗。令，∀a∈A。

第3步：确定迭代方向。根据，用全有全无网络加载方法将所有OD对的出行量加载到交通网络上，得到一组辅助路段流量。

第4步：确定迭代步长。求解下方一维极小值问题：

得到迭代步长λn。

第5步：更新路段流量。令，∀a∈A。

第6步：检查算法是否收敛。如果（ω是预先给定的收敛误差值），则满足收敛条件，即为所求均衡状态下各路段的流量，算法结束；否则，令n=n+1，转至第2步。

2.4.3　均衡出行分布和交通配流组合问题

交通流分配问题研究的是出行者的路径选择行为，因此，大部分情况下，各OD对之间的出行量是预先给定不变的。即使是在需求变动的用户均衡配流中，每个起始点的出行量分配到各个目的地的比例也是固定的，这意味着交通流分配问题不用考虑出行者的目的地选择行为。而在现实生活中，出行者的日常出行需求具有多样性。对于每个起始点，一部分出行需求，如工作、学习等，出行者的目的地相对固定，因此该起始点生成的这部分出行需求的目的地分布结构也相对固定，即这部分出行需求分配到各个目的地的数量占这部分出行需求的比例固定不变；另一部分出行需求，如购物、娱乐等，出行者面临多种目的地选择，最终选择取决于各个目的地对出行者的吸引程度，因此该起始点生成的这部分出行需求的目的地分布结构并不固定。在这种情况下，如果想较好地再现实际交通状态，就需要同时分析出行者的出行目的地选择行为和路径选择行为。因此，一些学者提出了均衡出行分布和交通配流组合模型，该模型的具体形式如下：

s.t.

其中，是起始点i上目的地分布结构不固定的出行量；是中选择到达目的地j的出行量；是起始点i到目的地j之间目的地分布结构固定的出行量；和分别表示和对应的在OD对ij之间第p条路径上的路径流量；是目的地成本函数，自变量y表示该目的地吸引到的目的地分布结构不固定的出行量；θ是分布参数，与用户对目的地成本的感知误差相关；其他参数含义与均衡配流模型相同。模型中的决策变量是中选择到达目的地j的出行量，路段流量。

约束条件式（2.14）表明了决策变量和参数的关系，并和约束条件式（2.20）一起确定了决策变量的取值范围。约束条件式（2.15）和式（2.16）分别表明了OD对之间目的地分布结构固定和不固定的出行量与对应的路径流量之间的守恒关系。约束条件式（2.17）表明了路段流量和路径流量之间的关联关系。约束条件式（2.18）和式（2.19）保证所有路径上的流量为非负。与用户均衡配流模型类似，目标函数式（2.13）本身也没有直观的经济含义。基于上述构造，可以很容易地证明上述模型存在唯一解，且该唯一解符合均衡原则。

上述模型仍然是一个凸规划问题，求解算法如下。

第1步：初始化。给出一组符合模型约束条件的的初始取值；令路段a的初始阻抗，∀a∈A。用全有全无网络加载方法将所有OD对的出行量加载到交通网络上，得到初始路段流量，令迭代次数n=1。

第2步：更新路段阻抗和目的地成本。令，∀a∈A；，∀j∈J。

第3步：确定迭代方向。根据，计算OD对间的最短通行时间，进而计算对应于的辅助变量，∀i∈I，j∈J；根据，用全有全无网络加载方法将所有OD对的出行量加载到交通网络上，得到一组对应于的辅助变量。

第4步：确定迭代步长。求解下方一维极小值问题：

得到迭代步长λn。

第5步：更新路段流量和目的地分布结构不固定的出行量。令，∀i∈I，j∈J。

第6步：检查算法是否收敛。如果（ω是预先给定的收敛误差值），则即分别为所求均衡状态下各路段的流量和目的地分布结构不固定的出行量，算法结束；否则，令n=n+1，转至第2步。