第4章 中学数学学习的特点

作为科学的数学特点

（1）高度的抽象性

任何学科都具有抽象性，只是数学学科与其他学科相比较，抽象程度更高。数学的抽象只保留了量的关系而舍弃一切质的特点；只保留了一定的形式、结构，而舍弃内容。这样，就得到纯粹状态下的以抽象形式出现的量与量的关系，成为一种思想材料的符号化、形式化抽象，这是一种极度抽象。

（2）严谨的逻辑性

数学要求逻辑上无懈可击，结论要精确，一般称之为数学具有严谨的逻辑性。虽然在探索数学真理的过程中合情推理起着重要作用，然而数学真理的确认使用的是逻辑演绎的方法，这是由数学研究的对象和数学的本质属性所决定的。

（3）广泛的应用性

数学广泛的应用性是由数学高度抽象性和严谨的逻辑性决定的。近半个世纪以来，数学更加成功地运用于经济、管理、通讯、资源开发和环境保护、医学、军事与国防等领域。

（4）知识的密度增大

由于年龄的增长，接受能力、理解能力也在提高。同时高中数学教材的内容多而杂，这就决定了高中数学每节课的内容较初中时要多，即密度加大了。教师在教法上也随之有所变化。

初中时教师常常把知识掰开揉碎地细讲，同时还选相当数量的习题去巩固这一知识；而在高中却常常是在新知识的开始阶段，例题即有一定的坡度。尤其强调知识的“以旧带新”和“横向，纵向的沟通、联系”。一节课下来，似乎是听懂了，但一遇到作业常常感到知识的运用不熟练，思路不通畅。似乎总感到新知识没有完全掌握，更新的知识又接踵而来。

（5）知识的独立性大

初中知识的系统性是较严谨的，平面几何尤其如此，这个系统给我们学习带来了很大的方便。因为它便于记忆，又适合于知识的提取和使用。

因此，平面几何的知识使人长久不忘，记得清，用得上。但高中的数学却不同了，除了立体几何、解析几何有个相对明确的系统，代数、三角的内容具有相对的独立性。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点，否则，综合运用知识的能力必然会欠缺。

中学数学的特点与教学

（1）现实背景与形式模型互相统一

数学学科虽然具有高度的抽象性和概括性，但这种抽象的思想材料却不能完全脱离现实背景，中学数学更是这样。

（2）解题技巧与程序训练相结合

解决问题是数学的灵魂，其特点在于技巧性和程式化。数学中的数量变化问题，必须用灵巧的思维和繁复的计算程序去解决，即一方面需要灵活机动的创造性思维，另一方面需要固定的计算公式，二者缺一不可。根据这一特点，教师应当注意教材中形式推演背后的生动思想，避免重复的单纯模仿和套公式。

（3）简约的数学语言与丰富的数学思想相交融

简约的数学语言与丰富的数学思想相交融是中学数学的又一特点。众所周知，数学思想是十分丰富的。公理化方法、代数思想、解析几何观点、统计与概率思想、微积分思想等是宏观数学思想。

函数观点、向量表示、参数方法、恒等变形、同解变形等是中型的数学观念。素数与合数、负负得正、尺规作图、任意角与周期性、算术根等是微观的数学问题。

（4）数学智育和德育相统一

数学智育和德育相统一主要是针对过去过分强调“数学是思维训练的体操”而言的，在过去，我们过分重视数学的程式性和技巧性，而淡化了数学生成过程中鲜活的思想、生动而有趣的变化以及由此带给人的美感和理性精神追求带给人的愉悦。数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。

中学数学与数学前沿

1997年3月，国家自然科学基金委提出了我国未来数学发展课题，涉及以下数学前沿问题：

（1）核心数学

它是应用数学的基础，重要方向有：解析数论、代数数论与代数几何，群与代数及其表示理论，流形与复形几何学，整体微分学，经典分析的前沿问题，随机分析和无穷维分析。

（2）非线性问题的数学理论和方法

它是各门自然科学中的非线性现象和纯粹数学各分支交叉形成的许多生长点，重要的科学问题和研究方向有：非线性偏微分方程，变分理论和几何分析，动力系统，经典和量子系统的数学问题，随机系统的数学问题。

（3）金融和高科技中的数学建模、计算和运筹决策

这是涉及国民经济可持续发展、高科技的重大突破和科学管理所面临的重大挑战性问题，主要包括：数学物理的高性能计算，高维流体力学的计算方法，数学机械化与现代数学组合方法，高维、定性和不完全数据的统计方法，经济和高科技中的统计建模、推断与计算，大规模、高复杂性问题的最优化方法，金融财政重点数学问题。

（4）复杂系统的建模、分析控制与优化

它包括：复杂系统的建模，随机系统的控制和适应控制，非线性现象的分析、控制与应用，无穷系统的控制，复杂系统分析的优化和控制，大规模多层次系统的优化理论和方法。

20世纪90年代以来，“高技术本质上是一种数学技术”的观点已得到人们的普遍认同，这一观点道出了高技术与现代数学问题的内在联系。高技术的研究离不开计算机，而有效的运用计算机则离不开现代数学的研究。

可见与高技术和计算机相结合的前沿数学，已在自然科学和社会科学纵横渗透。运用数学方法定量决策，也成为了当今决策和管理科学的主流。

数学学科的特点

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。深刻认识数学的这些特点，对于明确学习目的，改进学习方法，提高学习效果，具有十分重要的指导意义。

（1）高度抽象性

抽象性并非数学所独有的，任何一门学科都离不开抽象。因为每门学科都必须有一个概念系统，而概念都是经历了不同程度的抽象过程而形成的。可见概念本身就是抽象思维的产物。

然而，数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。数学的抽象撇开了对象的具体内容，而仅仅保留数量关系和空间形式。

在数学家看来，五个石头、五座大山、五朵金花与五条毒蛇之间，并没有什么区别。数学家关心的只是“五”。又如几何中的“点”、“线”、“面”的概念，代数中的“集合”、“方程”、“函数”等概念都是抽象思维的产物。

“点”被看作没有大小的东西；“线”被看作无限延长而无宽无高，“面”则被认为是可无限伸展的无高的面。实际上，理论上的“点”、“线”、“面”在现实中是不存在的，只有充分发挥自己的空间想象力才能真正理解。

数学的抽象性，可以使数学研究在个性和深度上不断发展，可以使人们摆脱实际生活的束缚，让思维在“抽象的高原”上自由飞翔。但数学的抽象特点，给数学学习者带来一定的麻烦，有些人对数学敬而远之，其中重要原因之一就是它太抽象了。

其实，我们大可不必把抽象视为进人数学大门的拦路虎，只要分析一下抽象思维能力较差的原因，找出相应的措施，有意识地培养锻炼抽象思维能力，任何人均能闯过抽象性这一关，进人数学王国去领略它无穷的魅力。

（2）严密逻辑性

数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。逻辑严密也并非数学所独有。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。但数学对逻辑的要求不同于其它科学，因为数学的研究对象是具有高度抽象性的数量关系和空间形式，是一种形式化的思想材料。

许多数学结果，很难找到具有直观意义的现实原型，往往是在理想情况下进行研究的。如一元二次方程求根公式的得出，两条直线位置关系的确定，无穷小量的得出，等等。数学运算、数学推理、数学证明、数学理论的正确性等，不能像自然科学那样借助于可重复的实验来检验，而只能借助于严密的逻辑方法来实现。

通常数学问题的解决，不仅要遵从数学规律，而且也要合乎逻辑，在逻辑上无误。因而，一个数学问题的解决，反映着两方面的要求，一是符合数学规律，二是要合乎逻辑。因此，在学习时，要认真理解数学概念，准确运用数学知识，进行严格的数学推导，才能正确有效地解答数学问题。

（3）广泛应用性

数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。我国已故著名数学家华罗庚教授曾指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”。这是对数学应用的广泛性的精辟概括。

数学应用的例证不胜枚举，太阳系九大行星之一的海王星的发现，电磁波的发现，都是历史上数学应用的光辉范例。就是我们在日常生活，社会生活及生产实践活动中也无时不在地应用数学。特别是在科学技术飞速发展和电脑技术不断更新的今天，数学已渗透到现代科学、技术的各个领域，国民经济的各个部门。毫不夸张地说，如果没有数学，就不可能有现代科学技术和现代社会文明。

数学的这三个显著特点是互相联系的，数学的高度抽象性，决定了其逻辑的严密性，同时又保证其广泛的应用性。这些特点也深刻地反映了：实践是数学的源泉，实践应用的需要正是学习数学的目的。

中学数学的学习目的

为什么要学习数学？是为了当数学家，为了掌握数学知识和技能，还是为了今后从事与数学关系密切的建筑、会计、测绘等职业。中学阶段作为人生打基础的阶段，学习数学的主要目的就是掌握一定的数学基础知识，形成一定的数学能力。

由于数学学习对思维、智能发展有极大的训练意义，因此不论你将来怎样继续学习和从事何种工作，中学数学学习都为你准备了重要的基础条件。

根据中学数学教学大纲的要求，中学阶段主要培养学生四方面的数学能力。

（1）逻辑思维能力

表现为能正确理解各数学对象间的逻辑关系；能严格从概念、理论出发进行逻辑推理，得出正确结论；能正确识别充分条件，必要条件和充要条件；能正确运用数学归纳法、反证法等基本论证方法。

（2）运算能力

表现为准确、快速地处理数据的能力；能熟练地对含字母的解析式进行运算，在完成运算后做出全面、准确、合理的结论，明确算理，讲求算法的优化。

（3）空间想象能力

能正确认识空间图形的形状、大小和位置关系，能作出体现特定空间位置关系的几何图形，并能在不便于作图的情况下正确想象出几何体之间的位置关系。

（4）数学语言表达能力

表现为正确使用数学符号，准确、简洁地表达出数学内容，语句完整，连贯，层次清楚，对于论证或解答各类数学问题，应当书写工整，用字（或字母）准确，讲求数学论文的书写规范，论文中的图形要求表现力强，注重作图规范，做到图、文相符。

学习数学的直接目的是掌握数学的基础知识、基本技能，形成一定的数学能力。那么知识重要，还是技能重要？应该说二者密不可分，互为基础。要形成一定的数学技能，就必须掌握扎实的基础知识，而要更好地学习数学知识，又必须具备必要的基本技能。