复合命题和命题联接词[1]
复合命题是指本身包含了其他命题的一种命题，并且其真假决定于它所包含命题的真假。这就是说，第一，复合命题的支命题不必有两个，可以只有一个，如负命题；第二，支命题不一定是简单命题，更不一定是直言命题；第三，所谓复合命题的真假决定于支命题的真假，更确切地说是：复合命题的真假由支命题的真假，通过命题连接词决定。[2]因之，复合命题就是由支命题经命题联接词组合而成的命题。
一 复合命题的形式
传统逻辑基本上只讲两种复合命题，即假言（条件）命题和选言命题，其形式为：
1.如有A则B；
2.A或者B。
受现代逻辑影响的一些书，把假言命题分为三种，选言命题分为两种，还介绍了联言命题和负命题。在这样的书里，经常讨论到的复合命题形式，还有以下五种：
1.只有A才B；
2.A当且仅当B；
3.要么A要么B；
4.A并且B；
5.并非A。
在以上7个形式中，“如果，则”“只有，才”“当且仅当”[3]“或者”（相容的）“要么，要么”（不相容的）“并且”“并非”，是自然语言里的命题联接词。“A”“B”是变项，代表任意的命题。任一复合命题形式中的所有变项都代之以命题，就得到一个复合命题。如以（1）雪是白的，代入“A并且B”中的“A”，而以（2）火是红的，代入“A并且B”中的“B”，就得到复合命题（3）雪是白的并且火是红的。（3）这个复合命题就是由（1）和（2）经由命题联接词“并且”组成的，由于（1）和（2）都真，而“并且”要求两支命题都真，因之（3）也是真的。
若以（4）雪是黑的，代入“A并且B”中的“A”，仍以（2）代入其中的“B”，则得（5）雪是黑的并且火是红的。由于（4）假，不满足“并且”的要求，因之，（5）是假的。我们再以（1）雪是白的代“A并且B”中的“A”，以（6）火是热的，代其中的“B”，就得到（7）雪是白的并且火是热的。由于（1）（6）都真，因而（7）显然也真。现在我们以真命题（8）燃烧是化学反应，代入“A并且B”中的“B”，仍以（1）代入其中的“A”，我们得到命题（9）雪是白的并且燃烧是化学反应。依照上述道理，既然（1）（7）都真，（9）就不能不真。但在自然语言里，说（9）真总使人感到别扭。这是因为自然语言里的“并且”除了支命题之间的真假关系外，还要求支命题之间的内容上有某种联系，例如并列、同时等等联系。又如“如果，则”在自然语言里常常表示因果联系、推论关系等。其他命题联接词的情况也相类似。
二 命题联接词、命题变项、真值
现代逻辑的研究撇开了真假以外的任何别的联系，仅仅从真假关系的角度来研究命题联接词。这样，现代逻辑就把自然语言里的命题联接词“如果，则”“只有，才”“当且仅当”“或者”“要么，要么”（不相容的），“并且”“并非”仅仅从真假角度相应地抽象为以下人工语言中的命题联接词：
现代逻辑又撇开了具体命题意义方面的千差万别，仅仅把命题看成真假两种，以1（或T，t，+）代表真命题，以0（或F，f，-）代表假命题。以无穷多个符号：
为变项，而它们是只以1和0为值，1和0叫作真值，这些变项叫作命题变项。7种复合命题的形式就相应地抽象为：
这些形式也以1和0为值。当命题变项的值都给定后，复合命题的形式的值就决定于它所具有的常项——命题联接词。究竟怎样决定，下面作简单介绍。
三 分析几个例子
由以上7种基本形式，可以组成千变万化、无穷多的形式。现在我们来分析几个自然语言的例子。
例（1）：“敌进我退，敌驻我扰，敌疲我打，敌退我追”的形式是（（（p1→q1）∧（p2→q2））∧（p3→q3）∧（p4→q4）。
例（2）：“如果我们不充分发挥社会主义制度的优越性，使社会主义生产力迅速发展，逐步做到使我国的社会主义制度建立在现代化的大生产的强大物质基础上面，我们也不可能有效地克服资本主义势力的滋长，而且势必在社会帝国主义和帝国主义可能的侵略面前处于挨打地位”的形式是（（p∧q）∧r）→（s∧p1）。
例（3）：“任何不受外力影响的物体，总保持匀速直线运动或静止，直到有外力迫使它改变这种状态为止”的形式是（┐p→（q∨r））∧（p→┐（q∨r））。
在分析这些具体命题的形式时，同一上下文中的同一支命题用同一命题变项代表，不同支命题用不同命题变项代表。形式中的括号用法，与初等数学中的用法相似。
对以上三个例子的分析可以看出，现代逻辑不斤斤计较于命题名称的命名，而注意一个命题包含了哪些命题联接词，并且是怎样包含的，因之在分析符合命题的形式时，远较传统逻辑为有力。
四 公式和模式
复合命题的形式在现代逻辑里称为公式，公式是无穷多的，命题变项也算是公式。在命题逻辑里，此外就别无公式了。如A是公式，则┐A也是公式。A→B，A←B，A←→B，A∨B，
，A∧B都是公式。以A，B，C，D，Ai，Bi，Ci，Di（i=1，…，n）代表公式，┐A代表了一类公式如┐p，┐┐q，┐（r→s），┐┐（┐（p→q）∨（r→┐s））。A→B等也代表了一类公式。我们要注意，像┐A，A→B这些东西本身并不是公式，而是代表了一类无穷多个公式，它们叫作公式模式，简称模式。
五 真值表
当命题变项的值给定后，包含了一个命题联接词及这些命题变项的公式的值又怎样决定呢？这个过程是由真值表来规定的。我们先看┐p和p→q的真值表。
有了这两个基本的真值表，[4]我们就可以着手处理更为复杂的公式。（（p→q）→┐p）的真值表可以这样写出来：
（以后为了节省篇幅，我们对真值表要作些简化。）从这个例子可以看出，公式A、B的值给定后，公式A→B的值也就给定，因之，┐p，p→q及其他各基本公式的真值表都可以推广如下：
真值表总结了支命题的真假通过各种不同的命题联接词怎样决定复合命题的真假，它是很有用的工具。
六 命题联接词的省略，复合命题形式之间的联系和转化
有了A→B的真值表，就有了B→A的真值表
拿B→A跟A←B作比较，就会发现当A、B的值给定后，B→A跟A←B的值完全相同。因之，就可以把A←B定义为B→A，从而省掉一个命题联接词“←”。以“=df”代表“定义为”，上述定义一般表述为：A←B=df B→A。关于“←”，也可以有这样的定义：A←B=df┐A→┐B。请读者自行画出┐A→┐B的真值表作为练习。
根据┐A，A∨B和A∧B的真值表，我们可以给出下列真值表：
当A、B的值给定后，（A∨B）∧（┐A∨┐B）的值与
的值完全相同。因之，就有以下定义：
也可以有这样的定义：
有了上述两定义之一，就可以省掉“
”。在现代逻辑里，常用的命题联接词是：→，←→，∨，∧，┐五个。它们分别叫作蕴涵词、等值词、析取词、合取词、否定词。而A→B，A←→B，A∨B，A∧B，┐A就分别是蕴涵式、等值式、析取式、合取式、否定式的模式。
运用真值表可以说明公式之间的联系与转化。而这就反映了复合命题形式之间的联系与转化。除了上面已经说明的以外，再如，下列各组模式常取真值：
（A→B）←→（┐A∨B），（A→B）←→┐（A∧┐B）
（A∨B）←→（┐A→B），（A∨B）←→┐（┐A∧┐B）
（A∧B）←→┐（A→┐B），（A∧B）←→┐（┐A∨┐B）
我们仅在这里看一看第一个模式的真值表：
我们再用具体例子来直观地说明第一个模式。“如果小王去开会，那么我就不去了”的真假，与“或者小王去开会，或者我不去开会”的真假相同。
以上这些模式都说明了复合命题形式之间的联系与转化。因此，现代逻辑早已严格证明，只要少数几个命题联接词，例如：┐和→，┐和∨，┐和∧，就可以把所有可能的命题联接词都定义出来。这一点不仅具有理论价值，而且在日常应用上，也是很有意义的。例如，我们可以灵活运用各种不同形式的命题来反映充分条件联系。
七 关于否定
真值表可说明下列各模式的常真：
┐┐A←→A，
┐（A→B）←→（A∧┐B），
┐（A←→B）←→（A∨B）∧（┐A∨┐B），
┐（A∨B）←→（┐A∧┐B），
┐（A∧B）←→（┐A∨┐B）。
这里仅画出第二个模式的真值表来检验。
有了上面这些模式，与不管怎样复杂的公式的否定式等值的公式，都可以运用这些模式来一步步求得。例如与（p∧q）→r的否定式┐（（p∧q（→r）等值的公式是什么？根据上面第二个模式，就可以知道它是（p∧q）∧┐r。具体的例子，如：命题“如果甲、乙两人都来，那么这件事就办不成”的否定即是“甲乙两人都来了，而这件事也办成了”。
在这一讲里，我们是突出命题联接词来讨论复合命题的形式的；然而，现代逻辑不是为了分析命题形式而分析命题形式。分析命题形式主要是为了解决推理中的问题。下一讲我们就来谈谈关于复合命题的推理，或者说关于命题联接词的推理。
[1] 原载《逻辑与语言学习》1982年第2期。有删改。
[2] 命题联接词在某些逻辑著作中称为逻辑联项。
[3] 英语中的“if and only if”，汉语中的“当且仅当”，都是逻辑学家和数学家创造出来的词，不是日常语言中的词。
[4] p→q；p←q；p←→q；p∨q；
；p∧q；┐p叫作基本公式，它们的真值表叫作基本真值表。