第三节 黏性土的主动土压力

一、单层黏性土的情况

当挡土墙墙背填土为黏性土，墙体在外力或填土作用下产生足够的位移或变形，使墙背面填土从弹性状态变为主动极限平衡状态时，填土中将出现两组连续而对称的滑动面（滑裂面、破裂面、破坏面），滑动面与大主应力作用面之间的夹角为α=45°+，φ为填土的内摩擦角，如图2-8（a）所示。

此时填土中的大主应力为竖向正应力σ_z，其值等于计算点以上土柱的重力，即

σ_z=γz

式中 γ——填土的容重（重力密度）,kN/m³；

z——计算点距填土表面的深度,m。

此时填土中的小主应力σ₃为水平正应力σ_z，也就是填土的主动土压力P_a。

根据土的极限平衡条件，对于黏性土，极限平衡条件为

式中 σ₁、σ₃——填土中的最大主应力、最小主应力，kPa；

c——填土的凝聚力；

φ——填土的内摩擦角，（°）；

K_a——朗肯主动土压力系数。

将σ₁=γz和σ₃=p_az代入公式（2-75），则得

由公式（2-77）可见，对于黏性土，主动土压力由两部分组成：第一部分是由填土自重产生的主动土压力（压强）γzK_a，它沿墙高的分布是一个三角形，如图2-8（b）所示；第二部分是由填土的凝聚力c所产生的土压力（强度），它沿墙高的分布是一个矩形，即沿墙高各点的大小均相等，如图2-8（b）所示。但是第一部分的土压力为压应力，作用方向指向墙面，令其为正；第二部分土压力为拉应力，其符号为负，其作用是减小作用在墙面上的压应力，这也就是说，由于土的凝聚力c的作用，作用在挡土墙上的主动土压力将减小。

在墙顶处，z=0，第一部分土压力γzK_a等于零，而第二部分土压力为，故该点处的土压力将为负值，即为拉应力。自墙顶往下，z值逐渐增大，故第一部分土压力也随着增大，在深度z=z_c处，第一部分土压力γz_cK_a恰好等于第二部分土压力，该点处的实际土压力等于零。而在深度z_c以上，由于第二部分土压力均大于第一部分土压力，故深度z_c以上各点处，土压力将均为拉应力。但是由于填土与挡土墙之间不可能承受拉应力，即此时墙面与填土之间将因受拉而脱开，所以实际上在填土表面以下深度为z_c的范围内，挡土墙墙面上并不受力，即既不受压力，也不存在拉力，即实际的土压力为零，也就是图2-8（b）中三角形面积aed（拉力）将等于零。所以第一部分压力与第二部分土压力相互抵消的部分，实际上师图2-8（b）中的梯形面积abce。因此，对于黏性填土，作用在挡土墙上的实际土压力，为三角形面积ecf，如图2-8（b）所示。

如前面所述，在填土表面以下深度为z_c处，第一部分土压力（强度）与第二部分土压力（强度）相等，故该点处的土压力（强度）p_azc等于零，所以由公式（2-77）可得

由此可得土压力强度p_a=0的这一点，距离填土表面的深度为

式中 z_c——填土的开裂深度。

作用在墙底面高程处的主动土压力强度p_aH可根据公式（2-77）求得，即

作用在挡土墙上的总主动土压力可通过对公式（2-77）的积分来求得，即

总主动土压力P_a沿墙高的分布为一个三角形［图2-8（b）］，故总主动土压力P_a的作用点距墙踵点的高度为

二、多层黏性土的情况

若挡土墙墙背面填土为多层黏性土，各土层的厚度分别为H₁，H₂，H₃，…各土层的容重分别为γ₁，γ₂，γ₃，…内摩擦角分别为φ₁，φ₂，φ₃，…凝聚力分别为c₁，c₂，c₃，…如图2-9所示。

此时土压力的计算可分为两种情况：H₁>z_c的情况和H₁<z_c<H₁+H₂的情况。

1.H₁>z_c的情况

此时各土层交界面高程处的主动土压力强度计算公式如下。

（1）在第一土层与第二土层交界面处：

在第一土层的底面高程处的主动土压力强度为

在第二土层顶面高程处的主动土压力强度为

（2）在第二土层与第三土层交界面处：

在第二土层的底面高程处的主动土压力强度为

在第三土层的顶面高程处的主动土压力强度为

（3）在第三土层与第四土层交界面处：

在第三土层的底面高程处的主动土压力强度为

在第四土层的顶面高程处的主动土压力强度为

其余各层土交界面处的土压力强度的计算方法可以此类推。

在上列各式中，，…分别为第一层土、第二层土、第三层土、第四层土、……的主动土压力系数，其值为

此时填土的开裂深度为

各土层产生的主动土压力计算公式如下：

第一层土的主动土压力为

第二土层的主动土压力为

第三土层的主动土压力为

其余各土层产生的主动土压力可以此类推。

作用在挡土墙上的总主动土压力P_a等于各土层的主动土压力之和，即

总主动土压力作用点距墙踵点的高度y_a，可按照图2-9所表示的主动土压力分布图，根据力矩平衡原理求得。

2.H₁<z_c<H₁+H₂的情况

此时各土层交界面高程处的主动土压力强度如下。

（1）在第一土层与第二土层交界面处：

土压力强度=0。

（2）在第二土层与第三土层交界面处：

在第二土层的底面高程处的主动土压力强度为

在第三土层的顶面高程处的主动土压力强度为

（3）在第三土层与第四土层交界面处：

在第三土层的底面高程处的主动土压力强度为

在第四土层的顶面高程处的主动土压力强度为

其余各土层交界面处的主动土压力强度可以此类推。

此时由于填土的开裂深度z_c超过第一土层的厚度H₁，即

裂缝伸入第二土层内，若设z₀为裂缝伸入第二土层的深度，则可列出该深度处主动土压力强度的计算公式如下：

由于该点处的主动土压力强度p₀=0，故

解上述方程可得

因此当H₁<z_c<H₁+H₂时，填土的开裂深度为

各土层产生的主动土压力计算公式如下：

第一土层的主动土压力为

第二土层的主动土压力为

第三土层的主动土压力为

第四土层的主动土压力为

其余各土层产生的主动土压力可以此类推。

作用在挡土墙上的总主动土压力P_a等于各土层主动土压力之和，即

总主动土压力P_a的作用点距墙踵点的高度为

式中 y₁，y₂，y₃，…——主动土压力，…对墙踵点的力臂，可根据图2-9所示的主动土压力分布图来确定。

三、填土中有地下水的情况

当挡土墙墙背面填土中有地下水（图2-10），地下水面以上填土的厚度为H₁，土的容重为γ₁，内摩擦角为φ₁，凝聚力为c₁；地下水面以下填土的厚度为H₂，土的容重为γ₂，内摩擦角为φ₂，凝聚力为c₂。

此时地下水位以上填土凝聚力产生的主动土压力强度为，沿高度 H₁为均匀分布；地下水位以上填土自重产生的土压力强度为，z为计算点距填土表面的深度，为地下水位以上填土的主动土压力系数，这一部分土压力沿深度H₁为三角形分布，如图2-10所示。

此时在地下水面高程处，主动土压力强度有两个，即在上层H₁的底面高程处，主动土压力强度为

在土层H₂的顶面高程处，主动土压力强度为

式中——地下水位以下填土的主动土压力系数。

填土的开裂深度仍按公式（2-91）计算（z_c<H₁时）：

作用在挡土墙墙踵高程处的主动土压力强度p_aH由三部分组成，即上层填土自重产生的土压力强度，下层填土自重产生的土压力强度和下层填土凝聚力产生的土压力强度，所以

上层填土（地下水面以上部分）产生的主动土压力为

下层填土 （地下水面以下部分）产生的主动土压力由三部分组成。

（1）上层填土自重产生的主动土压力：

（2）下层填土自重产生的主动土压力：

（3）下层填土凝聚力产生的主动土压力（拉力）：

因此

所以，作用在挡土墙上的总主动土压力为

总主动土压力作用点距墙踵点的高度为

四、填土表面有均布荷载的情况

当填土表面作用有均布荷载q时（图2-11），主动土压力的计算可分为下列两种情况来进行。

1.当qK_a＞时

由于均布荷载q所产生的土压力强度qK_a大于由于填土的凝聚力c所产生的土压力强度 （拉应力），所以填土并未出现开裂现象。因此在填土表面，主动土压力强度为在填土表面以下深度为z处，主动土压力强度为

式中 γ——填土的容重,kN/m³。

由上式可见均布荷载q所产生的土压力强度qK_a和由填土凝聚力c所产生的土压力强度，均与计算点的深度z无关，故这两种土压力强度沿填土深度（沿墙高）为均匀分布（图2-11）。

墙踵高程处的主动土压力强度为

式中 H——挡土墙的高度,m。

由图2-11可见，由均布荷载q产生的土压力和由填土凝聚力c产生的土压力沿墙高为矩形分布，由填土自重产生的土压力沿墙高为三角形分布。

作用在挡土墙上的总主动土压力P_a等于土压力沿墙高的分布图形的面积，即

总主动土压力P_a作用点距墙踵的高度为

2.当qK_a＜时

由于均布荷载产生的土压力强度qK_a小于由填土的凝聚力c产生的土压力强度（拉应力），故填土表面将开裂。若设z_c为填土的开裂深度，则在填土表面以下深度为z_c处，主动土压力强度恰好为零，即

式中 γz_cK_a——由填土的土柱重量γz_c产生的土压力强度。

解上式，则可得填土的开裂深度为

此时填土表面以下深度为z处的主动土压力强度如下。

（1）当z<z_c时，该高程处的主动土压力强度p_az为零，该高程以上各点处的主动土压力强度均为零，即

（2）当z>z_c时，计算点处的主动土压力强度为

在挡土墙墙踵高程处的主动土压力强度为

此时作用在挡土墙上的总主动土压力为

总主动土压力P_a作用点距墙踵的高度为

五、填土表面有均布荷载、填土面以下有地下水的情况

当挡土墙墙高为H，填土表面水平，填土面上作用有均布荷载q，填土面以下深度为H₁处有地下水，地下水面以下填土的高度为H₂，如图2-12所示。地下水面以上填土的容重为γ₁，内摩擦角为φ₁，凝聚力为c₁；地下水位以下填土的容重为γ₂，内摩擦角为φ₂，凝聚力为c₂。

此时主动土压力的计算可分为下列两种情况来进行。

1.当时

在地下水面以上土层中，由于均布荷载q产生的主动土压力强度大于由填土凝聚力c₁产生的主动土压力强度 （拉应力），故填土表面不会开裂。

此时作用在填土表面以下深度为z处的主动土压力强度为

式中——地下水位以上土层的主动土压力系数，即。

因此，在地下水面以上土层中，填土表面处的主动土压力强度为

而在地下水面高程处为

在地下水面以下的土层中，在地下水面以下深度为z′处，主动土压力强度为

在地下水面高程处z′=0，故该处的主动土压力强度为

在挡土墙墙踵处z′=H₂，故该处的主动土压力强度为

地下水面以上部分填土产生的主动土压力由三部分组成，即由均布荷载q产生的主动土压力，由填土自重产生的主动土压力和由填土凝聚力c₁ 产生的主动土压力，这三部分主动土压力分别为

因此，地下水面以上部分填土的主动土压力为

地下水面以下深度z′处的主动土压力强度为

在地下水面处，z′=0，故地下水面处（对于地下水面以下部分填土）的主动土压力强度为

在挡土墙墙踵高程处，z′=H₁，故墙踵处的主动土压力强度为

地下水面以下部分填土产生的主动土压力p_aH由四部分组成，即由均布荷载q产生的主动土压力，由地下水面以上部分填土自重产生的主动土压力，由地下水面以下部分填土自重产生的主动土压力和由地下水位以下部分填土凝聚力c₂ 产生的主动土压力，这4部分主动土压力分别为

因此，地下水面以下部分填土产生的主动土压力为

作用在挡土墙上的总主动土压力P_a等于水上部分填土的主动土压力和水下部分填土的主动土压力之和，即

总主动土压力P_a的作用点距墙踵点的高度为

式中 y₁、y₂、y₃、y₄、y₅、y₆、y₇——主动土压力对墙踵点的力臂。

由图2-12可知：

2.当时

当均布荷载q产生的土压力强度小于填土的凝聚力c₁ 产生的土压力强度时，填土表面将开裂，开裂的深度z_c可按公式（2-125）计算，即

此时填土表面以下深度z处的主动土压力强度p_az可分为两种情况。

（1）当z<z_c时，该高程以上各点处的主动土压力强度均为零，即

（2）当z>z_c时，计算点处的主动土压力强度为

在地下水面处，z=H₁，故该处的土压力强度为

在地下水面以下部分的土层中，地下水面以下深度z′处的主动土压力强度为

在地下水面高程处，z′=0，故该处的主动土压力强度为

在挡土墙墙踵高程处，z′=H₂，该处的主动土压力强度为

由公式（2-157）和公式（2-158）可见，在地下水面高程处，主动土压力强度有两个，即，其中为地下水面以上填土层在地下水面高程处的主动土压力强度，则为地下水面以下填土层在地下水面高程处的主动土压力强度。

此时对于地下水面以上填土层，由均布荷载q产生的主动土压力完全抵消，只剩下由填土自重及凝聚力c₁产生的主动土压力的合力，这部分的主动土压力为

其中，沿高度 （H₁-z_c）呈三角形分布。

地下水位以下部分填土层产生的主动土压力还是由四部分组成，仍可按公式（2-150）计算，即

因此，作用在挡土墙上的总主动土压力为

总主动土压力P_a的作用点距墙踵点的高度为

式中 y₂、y₃、y₄、y₅、y₆——主动土压力对墙踵点的力臂。

y₂、y₃、y₄、y₅、y₆的值分别为