数学糖果1
上QQ阅读APP看书,第一时间看更新

2.勾股定理

世界上有很多心灵手巧的人,他们一出手便与众不同,我们听过他们的名字或见过他们的作品,例如:绘制《星空》的荷兰画家凡·高,设计国家体育场(鸟巢)的瑞士建筑师赫尔佐格、德梅隆,涂鸦伦敦的英国炫酷街头艺术家班克西。

还有一些心灵手巧的人,他们的内心一样丰富,一出手也是脱颖超众,只是我们很少听见他们的名字。但如果仔细观察,便常常能看到他们的“作品”。

他们折叠纸片,能折得异常笔直整齐;

他们系鞋带,能系出一朵花的美感;

他们缝纫衣服,针脚的轨迹像一件艺术品;

他们做晚饭,好看到让人不忍下筷……

巧人常常有,我们偶尔能听到他们的故事。我曾听长辈讲过这样一个故事片段——

有位砌墙的泥瓦工,做事有想法又非常细致,砌墙又快又直,有口皆碑,只可惜错过了上学的时机,没系统地学过数学知识。

有一次他与同事分享工作中的经验,其中一条是,砌相互垂直的墙角时,从一面墙量出30厘米,定个点,再从另一面墙量出40厘米,定个点,如果这两个点的距离是50厘米,就说明这个墙角砌得非常好。

学过小学几何的同学都能或都会知道,他所总结的是数学中一个了不起的定理:勾股定理。

下面简单描述勾股定理的内容:在直角三角形中,两条直角边的平方之和等于斜边的平方,即勾2+股2=弦2。

勾股定理的名字不唯一,几种常见的称谓如下——

①勾股定理:古代称较短的直角边为勾,较长的直角边为股,斜边为弦。

②商高定理:西周时(约公元前1000),商高提出了勾三股四弦五。

③毕达哥拉斯定理:因古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(约公元前580—约公元前500)给出具体证明而得此名。

④百牛定理:相传毕达哥拉斯证明出该定理后,斩了一百头牛庆祝,由此得名。

虽然“商高”听起来像“智商很高”的意思,但它确实只是一个人名呀!

———分割线————

● 商高与周公对话时提到:勾广三,股修四,径隅五(即勾三股四弦五,出自《周髀算经》)。商高告诉周公,这个结论是大禹治水时总结出来的。

● 周公姓姬名旦,是周文王之子,周武王之弟。在周朝的制度中,公为王之下的最高爵位(公、侯、伯、子、男)。

● 三国时,东吴数学家赵爽用著名的弦图(勾股圆方图)证明了勾股定理。

● 毕达哥拉斯是用诗歌的形式描述毕达哥拉斯定理的——

斜边的平方

如果我没有弄错

等于其他两边的

平方之和

● 早在毕达哥拉斯之前,许多民族已经发现了勾股定理——古巴比伦、古埃及、古印度、古代中国都有历史证据证明它的真实存在。但是,早期的发现者没有将这个事实上升到定理:指出该结论对所有直角三角形都成立,并给出相应的证明。毕达哥拉斯本人是第一个给出几何证明的人,之后他的证明方法被他的追随者中的数学家广为传播。

● 毕达哥拉斯定理是几何学中的定理,但它与数论之间有一个重要联系:直角三角形的三条边可以都是整数,且欧几里得证明了这样的三元数有无数多组。费马进一步思考,提出了猜想——当毕达哥拉斯定理中的平方被更高次方取代时,方程不存在正整数解。这便是后来的“费马大定理”(当整数n大于2时,方程xn+yn=zn不存在正整数解)。

● 定理——在既有命题的基础之上被证明为真的命题。该命题在被证明为真之前,被称为“猜想”;被证明为真之后,被称为“定理”;被证明为假之后,就只被当作一段故事。例如:费马猜想在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明为真后,改称为“费马大定理”。

● 公理——依据人类理性,不证自明的基本事实,即不需要再加以证明的正确命题。它是逻辑的起点,可用来推导其他命题,但不能由其他命题推导得到。

● 毕达哥拉斯学派认为所有数都能表示成整数或整数的比的形式,但毕达哥拉斯的一个学生希帕索斯提出了疑问——边长为1的正方形的对角线,它的长度不能被表示成两个整数的比。

● 希帕索斯的发现导致了数学史上的“第一次数学危机”。因为这一发现颠覆了毕达哥拉斯学派的理论基石,结果希帕索斯被残忍地投入海中溺死了。

● 常见的勾股数有3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41等。

● 勾股数的一种构造方法:任取两个不同的正整数a、b,若a>b,则2ab、(a2-b2)、(a2+b2)三数可构成一组勾股数。

● 古印度人对勾股定理的描述是这样的:矩形对角线生成的正方形的面积,等于矩形两边各自生成的正方形的面积之和。

● 吠陀语的《绳法经》由古印度数学家波达亚纳写就于公元前8世纪左右,其中就有毕达哥拉斯定理,并列出了毕达哥拉斯三元数(勾股数)。有人认为毕达哥拉斯看过《绳法经》。

———回头线————

回味1:勾股定理在中国又被称作_______________________。

回味2:勾股定理在外国常被称作_______________________。

回味3:勾股定理的证明方法很多,三国时的赵爽是用_________来证明的。