第3章 氧化镁混凝土拱坝温控和仿真分析方法

3.1 混凝土坝温度场的有限元计算方法

在混凝土坝仿真分析中，温度是基本作用荷载。坝体温度变化是一个热传递问题，用有限元法求解有下面几个优点：①容易适应不规则边界；②在温度梯度大的地方，可局部加密网格；③容易与计算应力的有限单元法程序配套，将温度场、应力场和徐变变形三者在一个统一的程序中计算。仿真应力计算中需考虑混凝土温度、徐变、水压、自重、自生体积变形和干缩变形等的作用。

3.1.1 热传导的微分方程

考虑均匀的、各向同性的固体，从其中取出无限小的六面体dxdydz。在单位时间内从yz面流入的热量为q_xdydz，流出的热量为q_x+dydydz，净热量为q_x-q_x+dxdydz（图3.1-1）。

在固体的热传导中，热流量与温度梯度∂T/∂x成正比，但热流方向与温度梯度方向相反，即

图3.1-1 微小六面体热传导示意图

式中：λ为导热系数，kJ/（m·h·℃）。

显然，热流量q是的函数，将其展开成泰勒级数并只取前两项，得

于是，沿方向流入的净热量为

同理，沿y方向和z方向的净热量分别为。

设单位时间内单位体积中发出的热量为Q，则在体积dxdydz内单位时间发出的热量为Qdxdydz。在时间内dτ，此六面体由于温度升高所吸收的热量为

式中：c为比热，kJ/（kg·℃）；τ为时间，h；ρ为密度，kg/m³。

由热量平衡，温升吸收的热量等于外界流入的净热量与内部水化热之和，即：

化简后得固体中热传导方程为

式中：α为导温系数，m²/h。

由于水化热作用，在绝热条件下混凝土的温度上升速度为

式中：θ为混凝土的绝热温升，℃；W为水泥用量，kg/m³；q_c为单位重量水泥在单位时间内放出的水化热，kJ/（kg·h）。

由式（3.1-4），热传导方程可改写为

在式（3.1-5）中，当∂T/∂τ≠0，∂θ/∂τ≠0时，即水泥水化热存在、混凝土结构的温度继续变化，此时为不稳定温度场；当∂T/∂τ≠0，∂θ/∂τ=0时，即水泥放热作用基本结束，混凝土温度不受内部热源的影响，但还没冷却到最终稳定温度，温度场是时间的函数，此时为准稳定温度场；当∂T/∂τ=0，∂θ/∂τ=0时，即初始温度和水化热的影响完全消失，温度场不再随时间变化，而只是坐标的函数，此时为稳定温度场。

3.1.2 初始条件和边界条件

热传导方程建立了物体的温度与时间、空间的关系，但满足热传导方程的解有无限多，为了确定需要的温度场，还必须知道初始条件和边界条件。初始条件为在初始瞬时物体内部的温度分布规律，边界条件为混凝土表面与周围介质之间温度相互作用的规律。

3.1.2.1 初始条件

在相当多情况下，初始瞬时的温度分布可认为是常数，即当τ=0时

3.1.2.2 边界条件

（1）第一类边界条件：混凝土表面温度T是时间的已知函数，即

混凝土与水接触时，表面温度等于已知的水温，属于这种边界条件。

（2）第二类边界条件：混凝土表面的热流量是时间的已知函数，即

式中：n为表面外法线方向。

若表面是绝热的，则有

（3）第三类边界条件：当混凝土与空气接触时，经过混凝土表面的热流量为

第三类边界条件假定经过混凝土表面的热流量与混凝土表面温度T和气温T_a之差成正比，即

式中：β为表面放热系数，kJ/（m²·h·c）。

当表面放热系数β趋于无限大时，T=T_a，即转化为第一类边界条件。当表面放热系数β=0时，又转化为绝热条件。

3.1.3 温度场求解的有限单元法

瞬态温度场的求解就是在T=T₀（x，y，z）初始条件下求得满足瞬态热传导方程及边界条件的温度场函数T（x，y，z，τ）。

根据最小位能原理，热传导微分方程（3.1-5）可以转换为可以转换为温度T（x，y，z，τ）在τ=0时给定初始温度T₀（x，y，z），在边界上取给定初始温度，并使下列泛函取极小值

其中

式中：θ₀为混凝土最终绝热温升。

空间域和时间域不耦合，分别用有限元和差分进行离散计算。

3.1.3.1 空间域离散

将整个求解区域R划分为有限个单元，假定单元内任一点任何时刻的温度和温度变化率由结点的温度和温度变化率通过形函数N插值得到，即

T^e（x，y，z，τ）为单元内任一点τ时刻的温度；［N］=［N₁，N₂，…，N_m］是坐标x、y、z的函数；{T}^e={T₁，T₂，…，T_m}^T是时间τ的函数。

在单元e（子域ΔR）中的泛函为

将式（3.1-13）～式（3.1-17）代入式（3.1-18），由此可以得到单元e内泛函I^e对结点温度的偏导数

在单元e上把各个偏导数进行列阵 （i=1，2，…，m），得到

其中

热传导矩阵［H］^e中第一项是单元的贡献，第二项是第三类热交换边界对热传导矩阵［H］^e的修正；

温度荷载向量{F}^e中第一项是单元热源产生；第二项是单元第二类给定热流边界条件产生的；第三项是单元第三类对流热交换边界产生的。

在单元足够小的条件下，泛函I（T）的极值条件等价于

各个单元［H］^e、［R］^e、{F}^e集成，得到泛函的各个结点温度的偏微分

其中。

式（3.1-25）是一组以时间τ为独立变量的线性常微分方程组。其中，R是热容矩阵，H是热传导矩阵，R与H都是对称正定矩阵，F是温度荷载列阵，T是结点温度列阵，是结点温度对时间的导数列阵。

3.1.3.2 时间域离散

在τ=τ_n-τ_n+1，假定［H］和［R］为常矩阵，式（3.1-25）对任意时间τ都成立，则对τ=τ_n，τ=τ_n+1也成立：

假定随时间线性变化 （中心差分），则

式（3.1-28）可写成

把式（3.1-29）代入式（3.1-27）得

式（3.1-26）可写成

代入式（3.1-30）得

式（3.1-32）为有限单元法求解非稳定温度场的线性方程组，只要给定τ时刻的温度场{T}_τ，由上式可以求得τ+Δτ时刻的温度场{T}_τ+Δτ。

对于给定温度值的边界上的n₁个结点，方程中给定下面条件：

对于给定温度值的边界上的n₁个结点，方程中给定下面条件。