3.2 双馈风力发电机在三相静止坐标系下的数学模型
3.1节从双馈风力发电机的稳态等效电路以及功率流向的角度分析了双馈风力发电机的工作原理，但这对于控制来说远远不够，本节将从数学模型的角度来分析双馈风力发电机，为下一步的控制做准备。
双馈风力发电机的数学模型与三相绕线式感应电机相似，是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。为了建立数学模型，一般作如3.1.3节所作的假设。
图3-8 双馈风力发电机的物理模型和结构示意图
在建立基本方程之前，有几点必须说明：
（1）要选定好磁链、电流和电压的正方向。图3-8所示为双馈风力发电机的物理模型和结构示意图。图中，定子三相绕组轴线A、B、C在空间上是固定，a、b、c为转子轴线并且随转子旋转，θr为转子a轴和定子A轴之间的电角度。它与转子的机械角位移θm的关系为θm＝θr/np，np为极对数。各轴线正方向取为对应绕组磁链的正方向。定子电压、电流正方向按照发电机惯例标示，正值电流产生负值磁链；转子电压、电流正方向按照电动机惯例标示，正值电流产生正值磁链。
（2）为了简单起见，在下面的分析过程中，假设转子各绕组各个参数已经折算到定子侧，折算后定子、转子每相绕组匝数相等。
双馈风力发电机的数学模型包括电压方程、磁链方程、运动方程、电磁转矩方程等。
3.2.1 电压方程
选取下标s表示定子侧参数，下标r表示转子侧参数。定子各相绕组的电阻均取值为Rs，转子各相绕组的电阻均取值为Rr。
交流励磁发电机定子绕组电压方程为
转子电压方程为
可用矩阵表示为
3.2.2 磁链方程
定转子各绕组的合成磁链是由各绕组自感磁链与其他绕组的互感磁链组成，按照上面的磁链正方向，磁链方程式为
电感L是6×6的矩阵，主对角线元素是与下标对应的绕组的自感，其他元素是与下标对应的两绕组间的互感。
由于各相绕组的对称性，可认为定子各相漏感相等，转子各相漏感也相等，定义定子绕组每相漏感为Lls，定子绕组每相主电感为Lms（表示与主磁通对应的定子一相绕组交链的最大互感磁通所对应的定子互感值）；转子绕组每相漏感为Llr，转子绕组每相主电感为Lmr（表示与主磁通对应的转子一相绕组交链的最大互感磁通所对应的转子互感值），由于折算后定子、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相等，故可认为Lms＝Lmr。
定子各相自感为
转子各相自感为
两相绕组之间只有互感。互感可分为两类：①定子三相绕组彼此之间和转子三相绕组彼此之间的位置是固定的，故互感为常值；②定子任一相和转子任一相绕组之间的位置是变化的，互感是θr的函数。
第一类互感由于三相绕组的轴线在空间的相位差是120°，在假设气隙磁通为正弦分布的条件下，忽略气隙磁场的高次谐波，互感为
于是
当忽略气隙磁场的高次谐波，第二类定子、转子间的互感可近似认为是定子、转子绕组轴线电角度θr的余弦函数。当两套绕组恰好在同一轴线上时，互感有最大值Lsr（互感系数），于是
代入磁链方程，就可以得到更进一步的磁链方程。为方便起见将其写成分块矩阵的形式
其中
Lrs和Lsr两个分块矩阵互为转置，即
且与转角位置θr有关，他们的元素是变参数，这是系统非线性的一个根源。为了把变参数转化为常参数，需要进行坐标变换，这将在后面讨论。
需要注意的是：
（1）定子侧的磁链正方向与电流正方向关系是正值电流产生负值磁链，不同于一般的电动机惯例，所以式（3-18）中出现了负号“-”。
（2）折算前，根据电感的基本定义有
则
（3）转子绕组经过匝数比变换折算到定子侧后，定子、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，故可以认为转子绕组主电感、定子绕组主电感与定子、转子绕组间互感系数都相等，即Lms＝Lmr＝Lsr。
3.2.3 运动方程
交流励磁电机内部电磁关系的建立离不开输入的机械转矩和由此产生的电磁转矩之间的平衡关系。为简单起见，忽略电机转动部件之间的摩擦，则转矩之间的平衡关系为
根据机电能量转换原理，在线性电感条件下，磁场的储能Wm和磁共能W′m为
电磁转矩等于机械角位移变化时磁共能的变化率
（电流约束为常值），且机械角位移θm＝θ/np，于是
将式（3-27）代入式（3-28），并考虑到电感的分块矩阵关系式，得
又考虑到
，则得出电磁转矩方程为
应该指出，上述公式是在磁路为线性、磁场在空间按正弦分布的假定条件下得出的，但对定子、转子的电流波形没有任何假定，它们都是任意的。因此，上述电磁转矩公式对于研究由变频器供电的三相转子绕组很有实用意义。
上述公式构成了交流励磁发电机在三相静止轴系上的数学模型。可以看出，该数学模型即是一个多输入多输出的高阶系统，又是一个非线性、强耦合的系统。分析和求解这组方程式非常困难，即使绘制一个清晰的结构图也并非易事。为了使交流励磁发电机具有可控性、可观性，必须对其进行简化、解耦，使其成为一个线性、解耦的系统。其中矢量坐标变换是一种有效方法。