3.3 黄河下游平滩面积对水沙变化的响应与模拟

3.3.1 黄河下游平滩面积的确定

平滩面积是指水位与河漫滩相平时的断面面积，其相应的流量即为平滩流量。虽然平滩面积和与之相应的平滩流量的物理概念十分清楚，但因黄河下游河道的断面形态极不规则，冲淤变幅大，给主槽宽度和平滩水位的确定带来了一定的困难。

确定平滩水位主要依据以下原则：①主槽滩唇明显时，以两岸滩唇平均高程为准，两岸滩唇间距即为主槽宽度。②滩唇不明显或出现二级以上滩唇时，滩唇位置要参考相邻测次的位置，尽可能使滩唇位置不发生大的变化，两岸滩唇位置处的平均高程可作为平滩水位。③有时滩唇位置明显，但与相邻测次相比变化剧烈，且明显不合理，这时还要参考相邻断面的滩唇高程，通过综合分析确定。

根据上述原则，选取位于黄河下游河道由游荡型向弯曲型过渡段的高村站作为代表，该站的具体位置见图3.2。与位于游荡段的花园口站相比，高村站断面相对稳定，平滩面积易于确定；与位于弯曲段的艾山等站相比，高村站两岸受到的约束较小，断面变化幅度较大，便于观测和分析。最后经过多次反复观测和比较，得到高村站历年汛后的平滩面积，列于表3.2。

3.3.2 平滩面积与汛期来水来沙量的关系

（1）平滩面积与汛期来水量的关系

对于冲积河流，水量和沙量及其过程一般是决定河道断面大小的主要因素，有什么样的水沙条件，就有什么样的河槽形态，并且在水流和泥沙两种要素中，水流的作用通常是处于主导地位的，因此，有必要首先分析平滩面积随来水条件的变化。图3.13和图3.14给出了高村站汛后平滩面积A_bf随汛期平均流量Q_汛的变化情况及其相关关系。可以看到，A_bf随Q_汛的变化而变化，虽然A_bf与Q_汛之间的相关程度不高，但A_bf随Q_汛的增加而增大、随其减少而减小的趋势是比较明显的。

图3.13 高村站历年汛后平滩面积及汛期平均流量的变化过程

图3.14 高村站汛后平滩面积与汛期平均流量的关系

我们知道，河床的冲淤调整变化不仅与当前的水沙条件有关，而且通过河床边界条件的影响，还与前期的水沙条件有关，可以用若干年的叠加水量或滑动平均流量来表示（黄河水利科学研究所，1972；刘月兰，2004；林秀芝等；2005a；吴保生等，2007），即：

式中：n为滑动平均包括的年数；为汛期平均流量，m³/s；为n个年份汛期平均流量的滑动平均值，m³/s。

为了观测A_bf与之间的相关程度随滑动年数不同的变化，我们计算了1960—2002年共43年A_bf与的决定系数 （相关系数的平方值）R²，结果见表3.3。可以看到，R²随滑动年数的增加而增加，在滑动年数为4年时达到最大值0.76；之后，进一步包括更多年份的决定系数反而变小，原因是距离当年较远的过去，对目前河床演变的影响已经消失，滑动平均流量中包含了与目前河床演变无关或关系不大的信息。

图3.15点绘了A_bf与之间的相关关系，图中回归曲线的具体表达式如下：

式（3.25）中，A_bf的单位为m²，Q_4汛的单位为m³/s。

图3.15 高村站汛后平滩面积与4年滑动平均汛期流量的关系

图3.16点绘了A_bf和式（3.25）计算的平滩面积随年份的变化过程。可以看到，A_bf随的连续增加而增加，A_bf随的连续减小而减小。与图3.13和图3.14相比，图3.15和图3.16中数据的相关程度有了较大的提高，表明考虑前期来水条件的滑动平均汛期流量，能够在一定程度上反映来水条件变化对塑造河道主槽的作用。

图3.16 高村站汛后平滩面积实测值与式（3.25）计算值的历年变化

表3.3还给出了A_bf与滑动平均年流量之间的决定系数，可以看到，A_bf随滑动平均年流量的决定系数（R²）的变化规律与A_bf随滑动平均汛期流量的变化规律相似，但前者的相关程度略高。

（2）平滩面积与汛期来沙系数的关系

以往研究表明，黄河下游河道的冲淤变化与来沙系数ξ之间具有较好的关系。可以设想，当来沙系数较小，河道主槽发生连续冲刷时，河道的平滩面积就会增大；相反，如果来沙系数较大，河道主槽发生持续淤积时，河道的平滩面积就会减小，所以，来沙量对平滩面积的影响可以通过来沙系数的影响来反映。

图3.17和图3.18为A_bf随汛期平均来沙系数（kg·s/m⁶ ）的变化情况，的计算方法如下：

或

式中：S为日均含沙量，kg/m³；Q为日均流量，m³/s；为汛期平均含沙量，kg/m³；为汛期平均流量，m³/s；k为汛期时段的天数。

在日含沙量和日流量资料不具备的条件下，采用式（3.27）也可以得到类似的结果。

图3.17 高村站历年汛后平滩面积及汛期平均来沙系数的变化过程

图3.18 高村站汛后平滩面积与汛期平均来沙系数的关系

由图3.17和图3.18可以看到，A_bf随的增加而减小，两者之间大体上成反比关系。采用与前面分析A_bf与之间相关性相同的方法，计算了A_bf与滑动平均汛期来沙系数的决定系数R²，的计算方法如下：

相关分析的计算结果见表3.3。可以看到，决定系数R²在滑动年数为5年时达到最大值0.77。图3.19点绘了A_bf与之间的直接关系，图中回归曲线的具体表达式为：

图3.20点绘了A_bf及根据式（3.29）计算的平滩面积的历年变化过程，可以看到，由式（3.29）计算的平滩面积基本反映了A_bf的变化过程。

图3.19 高村站汛后平滩面积与汛期5年滑动平均汛期来沙系数的关系

图3.20 高村站汛后平滩面积实测值及式（3.29）计算值的历年变化

3.3.3 平滩面积的滑动平均计算方法

以上对A_bf与的单变量相关分析表明，来水量连续的偏丰或偏枯，以及来沙量连续的偏少或偏多，均会造成河道主槽面积趋势性的增大或减小，采用基本上能够反映前期水沙条件的影响效果。此外，在滑动平均年数为4～5年时，决定系数达最大值，说明在来水来沙条件发生变化时，河道主槽断面通过冲淤调整达到稳定状态的时间约为4～5年。

由表3.3还可以看到，A_bf与全年水量的相关程度较其与汛期水量的相关程度略高，说明非汛期水量对河道主槽面积的大小也有一定的影响，但相比之下，汛期水量还是起着决定性的作用。此外，A_bf与全年来沙系数的相关程度大大低于A_bf与汛期来沙系数的相关程度，原因是汛期来沙量的变化幅度较大，由此导致的河道主槽冲淤变化也大。

为了实际应用的方便，以4年滑动平均汛期水量和4年滑动平均汛期来沙系数为基础，建立A_bf的计算公式，得到如下表达式：

需要指出的是，在式（3.30）的确定过程中，没有包括1984、1985两年的数据。这两年与所有其他41年的数据点相比，表现有些异常，原因需要进一步调查分析。

图3.21点绘了A_bf与参数的相关关系，而图3.22则点绘了A_bf和式 （3.30）计算的A_bf值的历年变化过程。图3.21和图3.22表明，式（3.30）基本反映了来水来沙条件对河道主槽平滩面积的共同影响，除了1984、1985两年外，计算值与实测值之间的吻合程度较好，特别是两者的趋势性变化十分相近。

图3.22 高村站汛后平滩面积实测值及式（3.30）计算值的历年变化

考虑到A_bf与的相关程度略高于A_bf与的相关程度，而A_bf与的相关程度明显低于A_bf与的相关程度 （见表3.3），可以建立如下平滩面积计算公式：

可以看到，式（3.31）较式（3.30）的相关程度略有提高。需要指出的是，式 （3.31）系数的确定中也没有包括1984、1985两年数据。A_bf与之间较高的相关程度，说明非汛期来水量的大小对塑造河槽也有一定的影响；而A_bf与之间较低的相关程度，说明非汛期较小的来沙量对河道冲淤影响不大。

3.3.4 平滩面积的滞后响应模型

（1）平滩面积滞后响应模型的建立

以平滩面积A_bf为河床演变的特征变量，采用滞后响应模型的单步解析模式（2.8）和多步递推模式（2.14），得到如下平滩面积单步解析模式和多步递推模式的表达式：

式中：A_bf为时段末的平滩面积，m²；A_b0为时段初的平滩面积，m²；A_e为相对某一给定水沙条件下河床调整达到相对平衡时的平滩面积，m²；β为系数；Δt为时段长度。

对于式（3.32）表示的单步解析模式和式（3.33）表示的多步递推模式，关键是如何针对研究对象的实际情况，给出平衡状态A_e的具体表达式。考虑到水文过程的年际变化和实测资料情况，以及平滩面积是一个在时空上处于中间尺度上的变量，在平滩流量和平滩面积的研究中，一般取时间长度Δt=1年。在这种条件下，参考式（3.30）关于平滩面积的计算方法，可以将A_e表示为：

式中：Q_f为汛期平均流量，m³/s；C_tf为汛期平均悬移质含沙量，kg/m³；K、b、c分别为待定系数和指数。

将式（3.34）分别代入式（3.32）和式（3.33）得到：

当e^-nβΔt的值远小于1时，随着时间延长，初始边界条件A_b0对于A_bn的影响也会变弱。这样A_b0就可以近似用A_e0来替代，用以消除对初始条件A_b0的依赖性。因此，根据式（2.15）表示的多步递推模式Ⅲb可得：

式（3.35）、式（3.36）和式（3.37）为三个具有不同特点的平滩面积滞后响应模型，均考虑了前期水沙条件或河床边界对当年河床形态调整的影响。当已知A_b0时，可采用式（3.35）或式（3.36）计算；否则，可采用式（3.37）计算。此外，式（3.35）与式（3.36）的区别在于前者只能计算一个时段末的平滩面积，而后者可以计算多个时段后的平滩面积。

（2）平滩面积变化过程的模拟

下面依据表3.2给出的高村站平滩面积资料，应用以上建立的平滩面积滞后响应模型的不同计算模式进行计算。首先依据高村站1960—2002年的平滩面积资料得到式（3.35）表示的单步解析模式中的有关参数：β=0.25，K=25.91，b=1.0，c=-0.90，这样式（3.35）可以表示为：

由式（3.38）所得A_b的计算值与实测值之间的决定系数R²达到0.90，表明计算值与实测值符合很好。

考虑到式（3.36）和式（3.37）是式（3.35）的扩展形式，描述同样的物理过程，因此，式（3.35）中的系数应该同样适用于式（3.36）和式（3.37），由此得到：

式（3.39）和式（3.40）中，随着n的取值变化，决定系数R²随之变化，见图3.23。式（3.39）中的A₀为已知，开始时R²的值高达0.90，随着n取值的增大，R²随之减小，最后趋于常数0.86。式（3.40）中的A₀为未知，开始时R²的值最低，在前4～5年内，随着n值的增加，R²值迅速增大；之后n值继续增加，R²值增速趋缓，当n=10时R²值达到0.86左右。图3.23的结果说明，当A₀未知时，如果n足够大，即时间足够长，便可以用式（3.40）替代式（3.39），表明了用A_e0替代A_b0这种处理方法的合理性。此外，式（3.39）和式（3.40）及图3.23的结果还说明，当年平滩面积的调整是前期连续若干年来水来沙条件累积作用的结果，而且，包括当年在内的近期4～5年内的水沙条件的累积作用较为明显，越往前的水沙条件对当年平滩面积的累积作用越小，以至于约10年以前的水沙条件对当年平滩面积的累积作用基本消失。

图3.23 式（3.39）和式（3.40）表示的多步递推模时以及式（3.42）表示的简化模式所计算高村站平滩面积与实测值之间的相关关系

利用式（3.40），取n=8，计算所得高村站A_b值与实测值的对比见图3.24，决定系数R²达到0.83，说明该式能够较精确地计算平滩面积的长时段变化过程，计算存在的误差较小，因此，在不知道河道初始边界条件A₀的情况下，用式（3.40）来计算高村站的平滩面积是基本可行的。

图3.24 取n=8时式（3.40）表示的多步递推模式计算高村站平滩面积与实测值之间的对比

（3）平滩面积滞后响应模型的简化模式

假设式（3.39）中不同年份的权重系数相同，同时将指数b和c移至括号外，并忽略A_b0的影响，可得：

式中：为n年汛期滑动平均流量；为n年汛期滑动平均含沙量；K′、b′和c′为系数，根据实测资料回归分析得到K′、b′和c′分别为8.29、1.0和-0.53。

图3.23中给出了计算与实测平滩面积之间的决定系数R²值随n取值的变化，可以看出，R²值首先随着n的增加而迅速增大，在n=4附近的R²值最大，之后R²值随着n增加而减小。因此，高村站平滩面积的简化模式可以表示为：

由图3.23可知，在n取不同值时，式（3.42）表示的简化模式的计算精度一般低于式（3.40）表示的多步递推模式的计算精度，这是因为式（3.42）中对更为早期的水沙条件的影响权重考虑过大，也正因为如此，当n=4之后，R²值反而随着n的增加而减小，可见，更加早期的水沙条件对现在河道形态的调整影响相对要小。此外，式（3.42）与根据滑动平均方法建立的A_bf与来沙系数ξ和汛期流量Q之间的关系式（3.30）在公式形式上是一致的，其中Q_f4和S_f4的指数也较为接近。