2.2 细观统计损伤力学与平行杆模型
细观统计损伤力学，是从材料的细观结构出发，对不同的细观损伤机制加以区分，通过对细观结构变化的物理与力学过程的研究来了解材料的破坏，并通过体积平均化的方法从细观分析结果导出材料的宏观性质。从几何和热力学过程上考虑了各种类型损伤的性状和分布，并可预测它们在不同介质中的产生、发展和最后的破坏过程，建立细观统计损伤模型一般采用多重尺度的连续介质理论。
细观统计损伤力学的优点：它能将微损伤的细观动力学规律和宏观力学紧密结合起来；根据材料的微细观成分单独的力学行为以及它们的相互作用来建立宏观的考虑损伤的本构关系，进而给出完整的损伤力学理论构架。细观统计损伤力学一方面忽略了损伤过于复杂的微物理过程细节，避免了统计力学过于浩繁的计算；另一方面又包含了不同材料细观损伤的几何和物理特征，为损伤变量和损伤演化赋予了接近真实的几何形象和物理过程，提供了清晰的物理背景，深化了对损伤过程本质的认识。
细观统计损伤力学的不足之处：未能直接处理微损伤之间的相互作用；需要经过许多简化才能从非均匀的微细观材料过渡到宏观的均质材料；必须采用一种平均化方法，以把细观结构损伤机制研究的结果反映到材料的宏观力学行为的描述中去；加之人们对于微细观成分及其相互作用的了解还不够充分，难以反映细观损伤对宏观力学性能的影响。细观统计损伤力学目前仍处于发展探索阶段，其实用性方面还有待于进一步发展。
细观统计损伤力学的研究大体上有基于微观力学与基于唯象学两条途径。第一条途径特点是以微裂纹、微孔洞为研究对象，可以考虑微缺陷的成核及扩展的物理机制，但本质上十分复杂，使其实际应用受到限制。唯象学模型引入内变量来描述材料的损伤状态，其中损伤变量的定义、演化方程的描述、关键参数的选取等则基于细观力学的研究成果；所提供的是宏观的本构方程，便于工程应用，受到许多研究者的重视。
Krajcinovic（1982）利用Iwan（1967）讨论复合材料屈服特性的并联分布元素模型，建立了一种简单而形象的统计损伤物理元件模型——平行杆模型PBS，来模拟混凝土、岩石等准脆性材料单轴拉伸时的损伤演化规律，它反映了材料细观非均质性以及内力重分布与损伤演变之间的相互作用。其基本思想是认为细观非均匀性是造成准脆性材料宏观非线性的根本因素，采用统计损伤演化规律来反映混凝土材料的非均匀性和缺陷分布的随机性。
图2.2 平行杆模型PBS（Krajcinovic，2005）
如图2.2所示，将材料代表体积单元（RVE）离散成由N（N→∞）个细观杆元素组成的平行杆系统。每个杆件被赋予相同的刚度k和截面积dA；为引入材料的细观非均质性，假定这些杆元素具有各种可能的非均质的强度特性（纯脆性和脆性-韧性性质）。
损伤变量D表示为
式中：N为杆元素的总数；n为已断杆件的数目（该定义与经典损伤力学损伤变量定义相同）。
当N→∞时，可以把损伤变量D用破坏强度概率密度函数表示为
式中：P（kx）为关于给定破坏强度概率密度函数p（fR）的累积分布函数。
当系统的破坏强度服从Weibull分布时，损伤演化规律可用杆内力kx表示为
式中：m和θ为Weibull分布的形状和标度参数。
损伤本构表示为
