第2章　多变量概率问题研究述评

2.1　单变量水文频率分析方法

长期以来，生产实际中评估和预测洪水、暴雨等水文随机变量的发生概率时，都只是应用一维的概率分布模型对其分析；对于水科学领域经常遇到的诸如水文事件的遭遇概率问题以及各种环境极值事件的联合分布等问题，要么采用实测资料进行定性分析，要么将各水文变量分别进行概率分析，然后进行简单的叠加。当前，只考虑单一因素的一维概率分布模型日趋成熟，已经广泛应用于水利行业的各个方面，同时也为多变量概率分布问题的研究奠定了基础。

对于单变量水文极值数据系列的分析，世界各国制定有关水文计算手册或规范时，大多采用皮尔逊Ⅲ型（简称P-Ⅲ型）、极值Ⅰ型、对数皮尔逊Ⅲ型等分布模型。我国常采用皮尔逊Ⅲ型分布；英国、法国及其原殖民地国家选用广义极值分布（GEV），但英国的最新设计洪水估算手册提出采用广义逻辑分布（GL）；美国、加拿大和澳大利亚、印度等国采用Gumbel分布；日本采用对数正态分布；泰国等东南亚国家一般选用P-Ⅲ分布作洪水和暴雨频率分析［20］。世界各国采用的频率分布线型见表2.1［20-21］。

1.皮尔逊Ⅲ型分布

皮尔逊Ⅲ型分布是我国主要应用的概率分布模型，是一种三参数Gamma分布函数。其概率密度函数如下：

式中：Γ（α）为α的Gamma函数；α为形状参数；β为尺度参数；γ为位置参数。

2.极值Ⅰ型分布（Gumbel分布）

极值Ⅰ型分布亦称Gumbel分布，指的是n个观测值中极大值的概率分布，其不超过概率分布函数，如式（1.3）所示：

其中

式中：P为不超过概率；x为水文统计量；a、c为统计参数；r为欧拉常数，r＝0.57721；σ为水文统计量的标准差。

3.对数正态分布

对数正态分布是从正态分布的对数变换推演而来的，其概率密度函数为：

式中：αy、σy分别是随机变量Y的数学期望和均方差。

4.两参数Gamma分布

式中：Γ（α）为α的Gamma函数；α为形状参数；β为尺度参数。