2.4　频时域法(FTDM)

式(2.2.4)也可以在频域求解,对式(2.2.4)进行傅里叶变换:

这里

Hn(ω)是第n阶模态的频响函数,对方程(2.2.2)进行傅里叶变换,并将上式代入方程,动位移v(x,t)的傅里叶变换即可得到

2.4.1　由加速度响应识别移动荷载

基于方程(2.4.2),梁上x处t时刻的加速度向量傅里叶变换为

将模态力pn(t)的傅里叶变换Pn(ω)代入式(2.4.3),并写成如下离散形式:

式中:下标ψn为第n阶模态振型的傅里叶变换;Δf为傅里叶变换的频率分辨率;N为傅里叶变换的数据样本数;j和m分别代表傅里叶变换的第j和第m项;F为移动荷载f(t)的傅里叶变换,设

则式(2.4.4)可重新以FR(j)为实部,以FI(j)为虚部写成傅里叶变换的形式:

考虑到离散傅里叶变换的周期性,式(2.4.6)可写为

将式(2.4.7)写成矩阵形式:

这里和F分别为加速度向量和荷载向量f的傅里叶变换。矩阵A是与车桥系统矩阵,将F写成实部FR、虚部FI形式,方程(2.4.8)变为

类似地,将分别写为实部虚部的形式,则有

因为向量和F虚部的第一个元素和最后一个元素都为零,即:FI(0)=FI(N/2)=0,则式(2.4.10)删除相应的行和列后变为

F是由实部FR和虚部FI组成的向量,解式(2.4.11)即可求得频域下荷载向量F,相应的移动荷载向量f(t)的时域解可通过逆傅里叶变换得到。

上述求解在频域进行,然而直接通过对式(2.4.11)的系数矩阵求逆,计算量会很大,为克服这一困难,采用以下改进措施。

若将离散傅里叶变换表示为矩阵形式,且f中所有项均为实数,则荷载向量f的傅里叶变换可表示如下:

这里W=e-i2kπ/N

矩阵W是单位矩阵,即

这里W*是W的共轭矩阵,将式(2.4.12)代入式(2.4.8),得到

上式即为频域的加速度傅里叶变换与时域荷载向量fB之间的关系式,其中WB和fB分别为矩阵W和f的子阵。若N=NB,则解N阶线性方程组可求得fB。若N>NB或可测得一个点以上的加速度响应(Nl>1),则上式为超定方程,此时可用最小二乘法求解荷载向量fB。

利用式(2.4.16)来识别移动荷载,有利于在频域内对响应数据进行加权,不足之处是在时间间隔(N-NB)Δt内的噪声将影响识别结果精度,利用式(2.4.12),将式(2.4.16)改写为

上式即为加速度与荷载向量fB在时域的关系式,同样,当N=NB时,荷载向量fB可通过求解式(2.4.17)直接得到,若N>NB或可测得一个点以上的加速度响应(Nl>1),此时可用最小二乘法求解荷载向量fB。

若桥梁仅有NC(NC≤N)个响应数据样本,则这些数据点的方程可从式(2.4.16)和式(2.4.17)中提取出来:

通常,NC>NB,故可利用最小二乘法来求解荷载向量fB。

2.4.2　由弯矩响应来识别移动荷载

类似地,弯矩M及其傅里叶变换

与移动荷载向量fB间的关系可表示如下:

这里矩阵B类似于式(2.4.16)、式(2.4.17)和式(2.4.19)中的矩A,求解以上三式即可得到荷载向量fB。

上述过程仅以单一荷载为例来进行公式推导。对于两轴或多轴荷载,则可基于线性叠加原理对式(2.4.21)进行修改,以两轴荷载识别为例,式(2.4.21)可改写为

这里Ba[Ns×(NB-1)]、Bb[(N-1-2Ns)×(NB-1)]、Bc[Ns×(NB-1)]为B的子矩阵,ls为两轴载的间距。其中矩阵第一行代表前轴上桥而后轴还未上桥的状态,第二、三行分别代表前、后轴均在桥上和前轴下桥而后轴仍在桥上的状态。

2.4.3　由弯矩和加速度响应来识别移动荷载

当弯矩和加速度响应同时测得时,将式(2.4.17)和式(2.4.21)组合起来,写成如下形式:

式中:‖·‖为向量的范数。

由于系统运动方程的推导是在频域进行的,而求解是在时域进行的,因此这种方法被称为“频时域法”(FTDM)。荷载识别的频域方法基本上分为两种,即频响函数矩阵求逆法和模态坐标转换法,均适用于线性结构。

频响函数矩阵求逆法:频响函数矩阵求逆法一般是利用预先构造的系统频率响应函数表示结构输出和输出的关系,然后对频响函数矩阵进行求逆运算,通过结构实测响应的傅里叶变换和频响函数矩阵的逆计算系统未知激励。该方法的研究开始较早,F.D.Bartlett等在20世纪70年代末采用频域法用加速度响应识别直升机主轴的动态力。之后N.Giansamte等通过加速度响应和传递矩阵得到了AH-1G直升机飞行时主轴和尾桨的外力。Doyle比较了频响函数矩阵求逆法与以前时域内解反卷积法识别荷载的计算精度,表明二者的计算精度相当,而频域方法因其简单性应用更广泛。接下来,Doyle与其合作者等利用频响函数矩阵求逆法计算了作用在不同结构构件上的冲击荷载历程。智浩等利用虚拟激励法在频域内将随机荷载的识别归结为与一般动态荷载识别统一的形式,即均可采用实测的系统响应和响应与激励建立的广义传递矩阵进行动态荷载识别,通过分析识别过程中影响精度的因素,提出利用计算机模拟方法选择响应测点以提高识别精度的方法。

频响函数矩阵求逆法表示简单,它把时域内计算结构响应和脉冲响应函数的反卷积识别荷载转化到频域内的乘法计算,计算量明显降低。但需要注意数值离散误差和使用FFT变换时引入的截断误差。另外,该方法需要对每个离散频率ω进行矩阵求逆计算,当ω接近结构固有频率时,会出现数值不稳定现象。李东升等采用虚拟激励法识别荷载,通过采用虚拟激励法和奇异值分解法的结合在一定程度上克服了频响函数在近固有频率附近的病态。对高阶频率对应的矩阵求逆时,高频噪声幅值难免会被放大,Holzer使用低通滤波器来过滤高频噪声,但同时也会滤掉某些重要的高频信息,比如材料撞击测试中,荷载历程中陡峭的峰值在通过低通滤波器时易被歪曲;使用Wiener滤波可以克服这个缺陷。Inoue等利用Wiener滤波提出逆系统优化估计方法。Wiener滤波是一个优化的逆系统,使逆系统(真实系统的输出作为该系统的输入)输出估计值与真实系统的输入值之间的总均方差最小,即使动态荷载估计的均方差最小。然后荷载的时间历程根据其频域内的优化估计值进行简单的傅氏逆变换得到。逆系统方法优化估计避免了频响函数的求逆运算,对噪声鲁棒性强,识别精度高。但是构造逆系统的脉冲响应矩阵时需要知道输入的测量值。

傅里叶变换是在无限域上进行积分,而实际应用中截取有限长度的数据是必要的,这使数据末端不连续,导致泄漏误差。在傅里叶变换中一般应用指数窗来减少泄漏,实际上,傅里叶变换中应用指数窗等效于Laplace变换,因此对荷载的频域值进行FFT获得其时间历程,在数值上也就是进行Laplace逆变换,而后者是典型的病态问题,Inoue等在操作时借助Tikhonov正则化方法改进计算精度。

系数矩阵的求逆运算常常会由于矩阵的条件数差产生病态性,使解的存在性、唯一性和稳定性受到挑战,从而测量信号或计算中微小的误差亦有可能被放大,无法准确识别荷载。为获得稳定解,需要合理安排测点位置,保证独立测点个数大于等于未知荷载个数,且使系数矩阵具有良好的条件数。田燕等把激励点和实测响应点两两组合,使频响函数由长方阵变为方阵形式,再将对应计算出的激励力求平均(算术平均或条件数加权平均)后得到要识别的荷载,改进后的方法识别精度高,能改善系统矩阵求逆计算中存在的病态性问题。

模态坐标变换法:模态坐标变换法是根据已知的结构模态参数,在模态坐标系下识别计算结构荷载。

该方法引入频域模态坐标向量,利用实测结构响应的傅里叶变换计算频域模态坐标向量,然后建立关于模态质量、模态阻尼、模态刚度和频域内的广义力向量之间的关系式,解出频域内的广义荷载谱,从而利用模态参数(模态振型矩阵)得到时间坐标系下的荷载历程。文祥荣等先对比例黏性阻尼系统进行模态坐标变换得到无耦合的运动方程,然后应用精细逐步积分构造一种荷载识别公式,再由结构动态响应计算动态力的时间历程。模态坐标转换法可以避免频响函数求逆时出现的矩阵不稳定现象,而且矩阵运算次数也较少,但是必须先确定系统的模态矩阵。而在实际工程中确定完整的模态矩阵几乎是不可能的,故识别的精度与模态矩阵参数的估计精度有关。另外,要求识别的荷载数目不能大于获取的模态数,而后者不能大于测量的响应点数。

在Law等提出的时-频域移动荷载识别方法中,以连续梁模型为例,建立系统在移动荷载作用下模态坐标的运动方程,然后对模态坐标进行傅里叶变换,计算频域模态坐标向量和频域广义力向量的关系;根据该关系获得频域内实测响应和频域广义力向量的表达式,从而识别移动荷载。Yu等分析研究了时-频域方法识别移动荷载中建立的超静定方程的求解,比较了两种方法:直接计算系数矩阵的伪逆矩阵和利用奇异值分解(SVD)计算伪逆矩阵。借助一个车-桥系统模型,通过试验比较,表明SVD技术能更好地提高识别结果的稳定性、改善识别精度。但是全奇异值分解在实际应用中比较耗时,可以采用部分SVD分解或利用RRQR分解代替全SVD分解。