2.7 流体控制方程不同形式之间的转化

2.7.1 常用四种流动模型（以质量方程为例写出）

所谓积分形式或微分形式，是指基本运动定律的数学表达式，是以积分形式还是以微分形式出现。积分形式需对流体取有限体积，运用基本定律经积分得到，微分形式则可取流体单元（无穷小的流体微团），运用基本定律直接得到。当然，积分形式与微分形式从数学角度看，还是有实质性的区别，如积分形式的方程允许物理量在（空间位置）固定的控制体内出现间断，而微分形式则不允许，在流动包含真实的间断（如激波）时，认识到这一点尤其重要。

考虑图2.6（a）中的流线，它表示了流动的流场，假设在流动区域内划出了一个有限的封闭的控制体V，其控制面为S。控制体的位置可以是固定的，此时会有流体流过控制体。控制体也可随流体运动，使得位于这个控制体内的流体质点保持不变。直接将物理学基本原理运用于有限控制体，得到的流体流动方程将是积分形式的。对这些积分形式的控制方程进行处理，可间接地导出偏微分方程组。对于空间位置固定的有限控制体［图2.6（a）的左半边］，这样得到的方程组，无论是积分形式的还是偏微分形式的，都称为守恒型控制方程。而对于随流体运动的有限控制体［图2.6（a）的右半边］，这样得到的积分或偏微分形式的方程组，称为非守恒型控制方程。

图2.6 流动模型

考虑图2.6（b）中的流线所表示的流动，设想在流动中的一个无穷小的流体微团，其体积微元为dV。流体微团的位置可以是固定的，此时会有流体流过微团。流体微团还可以沿流线运动，其速度等于流线上每一点的当地速度。直接将物理学基本原理运用于流体微团本身，将直接导出偏微分形式的控制方程组。对于空间位置固定的流体微团［图2.6（b）的左半边］，得到的偏微分形式方程组仍旧称为守恒型控制方程。而对于随流体运动的流体微团［图2.6（b）的右半边］，这样得到的偏微分形式的方程组也还是称为非守恒型控制方程^［8］。

2.7.2 方程不同形式之间的转化

考察图2.7，可以看到4种不同形式的连续性方程，每一个都是使用不同的流动模型推导出来的产物。在这些不同的形式中，有两个是积分形式，另外两个是偏微分方程；有两个是守恒形式的，而另外两个是非守恒形式的。但是，这4个方程并不是完全无关的方程，相反，它们是同一个方程的4种不同形式。4种形式中的任何一个都可以由其他任何一种形式演算导出，在图2.7中用路径A→D表示。为了更好地理解流动控制方程的意义和重要性，以下来考察这些不同路径的细节。

图2.7 连续性方程的不同形式及其不同流动模型之间的关系

首先，考察如何从积分方程守恒形式得到偏微分方程守恒形式（图2.7中的路径C）。连续性方程的守恒型积分形式为

由于推导方程式（2.46）所使用的控制体空间位置是固定的，积分限为常数，因此时间导数∂/∂t可以置于积分号内，即

应用散度定理，将式（2.47）中的面积分转化为体积分，有

因为控制体是任意选取的，方程式（2.48）中积分等于零的唯一可能就是被积函数在控制体内处处为零，即

方程式（2.49）正好就是图2.7中方框（3）所示的偏微分方程形式的连续性方程。

接下来，把守恒形式变为非守恒形式，对图2.7中方框（3）所示的偏微分方程的守恒形式，利用变量与向量乘积的散度公式，有

由于方程式（2.50）中左端前两项就是密度的物质导数，因此方程式（2.50）就变为

方程式（2.51）恰好是图2.7中方框（4）所示的偏微分方程形式的非守恒型的连续性方程。同样的变换也能够针对积分形式的控制方程，现在来看通过图2.7中方框（2）所示的方程演算到图2.7中方框（1）所示的方程，即图2.7中的路径A。对图2.7中方框（2）中的方程

方程式（2.52）中的体积分是对整个控制体积V进行的，而这个控制体是随流动变化的，但其中包括确定的流体质点，即方程式（2.52）中体积分的积分限由同样的运动微团确定，根据物质导数定义，表示流体质点物理量随时间的变化率，故方程式（2.52）中可见积分号写到积分号之内，再利用复合导数运算法则，有

对式（2.53）中第二项除以dV再乘以dV，并注意到速度散度的定义式（2.8），有

根据物质导数的定义式（2.2），对式（2.54）中dρ/dt展开，有

式（2.55）中后两项合并，并应用散度定理，有

方程（2.56）实际上就是图2.7中方框（1）所示的方程。至此，已经看到图2.7中方框所示的4个不同的方程确实不是完全无关的方程，而是同一个方程的4种不同形式。但图2.7中的每一种形式都直接来源于一个特定的、与每一个方程相联系的流动模型，因此每一个方程中的各项都有不同的物理含义。当然，这些不同形式的基本原理，及其控制方程的不同形式，并不仅限于连续性方程，同样适用于对动量方程和能量方程的推导和转换^［8］。