2.1 连续介质假设

根据流体的物质结构，流体由分子组成，分子作随机热运动，分子间有比分子尺度大得多的间距，在某一时刻，流体分子离散地，不连续地分布于流体所占的空间，并随时间不断地变化着。流体力学是研究流体的宏观运动的，研究的对象不直接是这些物质粒子本身，而是从这些物质抽象出来的一种模型，这种物质模型就是连续介质，其对应的假设就是连续介质假设。连续介质模型假设物质连续地无间隙地分布于物质所占有的整个空间，流体宏观物理量是空间点及时间的连续函数。采用宏观方法研究宏观运动，意味着不考虑单个粒子运动及其物理量，而是考虑大量粒子的平均运动及其统计特性，如速度、压力、密度、温度，以及它们的时间和空间导数。在连续介质中，常常把较微观粒子结构尺度大得多而较宏观特征尺度小得多的这样的流体团，称为流体质点。在微观上质点是充分大的，在宏观上是充分小的。质点具有的物理量是均匀的，它是质点中大量流体分子的相应微观物理量的统计平均值。连续介质就是由这些连续分布着的质点组成。既然质点在宏观上是充分小的，它又连续地占满它所占有的空间，那么，质点在它所在的空间也就相当于一个空间点。于是质点的物理量也就被认为是流体所在空间上空间点 （同样，也是时间）的连续函数。引入连续介质假设的目的就在于此，它为在流体力学中充分使用连续函数的数学分析方法奠定了基础。这些概念的详细介绍，可参见相关的流体力学书籍^[13]。

为进一步考察流体变形，在流体力学中还引入具有线尺度的流体单元。流体单元可看作由大量流体质点构成的微小单元，流体质点的相对运动引起流体单元的变形。

设在流场中取一固定不动的微平行六面体 （流体单元或控制体单元），边长分别为Δx、Δy和Δz，见图2.1。6个表面分别标记为N、S、E、W、T和B，依次代表控制体单元的北面、南面、东面、西面、顶面和底面。给定笛卡尔坐标系，设单元中心的位置坐标为 （x，y，z）。由于流体通过控制单元流进、流出以及单元内部源的作用，将导致系统质量、动量及能量的变化，从而导出流动控制方程。

图2.1 流体单元

由于流动变量都是空间和时间的函数，于是对密度、压力、温度以及速度矢量都应严格写成ρ（x，y，z，t），p（x，y，z，t），T（x，y，z，t）和υ（x，y，z，t），为了书写方便，各流体变量书写时不再显示表示为空间坐标和时间的函数。如时刻t在单元中心点（x，y，z）处的密度直接表示成ρ，时刻t在单元中心点（x，y，z）处压力在x方向的导数直接表示成∂p/∂x。同时，由于考虑的单元足够小，因此单元各表面上的流动物理量可以用泰勒级数展开中的前两项近似代替。如西面和东面距单元中心的距离都为，在西面和东面的压力可分别表示为。