无穷的魅力和危险

有这样一个普遍经验：极限通常比逼近它们的近似值简单。圆比所有接近它的多边形（有很多突起）都更简单，也更优美。同样地，在比萨证明中，极限矩形比有荷叶边的形状（有难看的隆起和尖点）更简单，也更优雅。对分数1/3来说亦如此，它比所有逼近它的笨拙分数都更简单，也更悦目，因为后者的分子和分母大而丑陋，比如3/10、33/100和333/1 000。在所有这些例子中，极限形状或极限数字都比其有限的近似物更简单，也更具对称性。

这就是无穷的魅力，在无穷远处，一切都变得更好了。

知道了这个经验之后，我们再回过头看无穷多边形的例子。我们是否可以孤注一掷地说，圆就是一个有无穷多条无穷短边的多边形呢？不，我们绝对不能这样做，也绝对不能屈服于这种诱惑，否则就会犯下实无穷的错误，并被推入逻辑的地狱。

为了说明原因，假设我们暂时接受了这个想法，即圆确实是一个边长无限短的无穷多边形。那么，这些边究竟有多长呢？长度为0吗？如果是这样，无穷乘以0（所有边的长度之和）就一定等于圆的周长。但假设现在又出现一个周长加倍的圆，那么无穷乘以0也必定等于这个更大的周长。于是，无穷乘以0既等于前一个圆的周长，又等于后一个圆的周长。这简直是胡说八道！既然我们找不到定义无穷乘以0的一致性方法，将圆视为无穷多边形的观点也就站不住脚了。

尽管如此，这种直觉还是有些许吸引力的。就像《圣经》中的原罪一样，微积分的原罪——把圆看作边长无穷短的无穷多边形的诱惑——也让人无法抗拒，它利用禁忌知识的前景和借助一般手段无法获得的洞见诱惑着我们。几千年来，几何学家一直在努力计算圆的周长。如果圆可以被由许多条微小直边构成的多边形替代，这个问题就会变得简单许多。

数学家一边听着巨蛇的嘶嘶声，一边努力克制着原罪的诱惑，通过利用潜无穷而不是更吸引人的实无穷，找到了解决圆的周长问题和其他曲线之谜的方法。在接下来的章节中，我们将会看到他们是如何做到的。但在此之前，我们需要更深刻地了解实无穷究竟有多危险。它会引发许多其他错误，包括老师常常告诫我们不要犯的一个错误。