0.333…的故事

为了强化“在无穷远处，一切都变得更简单了”和“极限就像无法实现的目标”之类的伟大思想，我们来看看下面的算术实例。这是一个将分数（比如1/3）转换为等值小数（在本例中，1/3=0.333…）的问题。我清楚地记得，我八年级的数学老师斯坦顿女士教过我们这类问题的计算方法。这件事之所以让我记忆犹新，是因为她突然讲到了无穷。

那一刻，我生平第一次听到一个成年人提及无穷。我的父母当然用不到它，它似乎是一个只有孩子才知道的秘密。在操场上，它总是以嘲弄和抬杠的方式出现。

“你是个混蛋！”

“是啊，好吧，你是两倍的混蛋！”

“你是无穷倍的混蛋！”

“你是无穷加一倍的混蛋！”

“那和无穷倍是一样的，你这个笨蛋！”

这些有启发意义的对话让我确信，无穷的行为和普通数字不一样。当你给它加上1的时候，它不会变大，即使给它加上无穷也是这样。它的这种所向披靡的属性极其适用于终结校园内的争论，谁抢先使用它，谁就赢了。

但在斯坦顿女士提到无穷之前，没有其他老师跟我们谈论过这个问题。我们班的所有同学都已经知道有限小数了，因为它们常被用来表示金额，比如10.28美元的小数点后就有两位数。相比之下，无穷小数的小数点后有无穷位数，尽管它们乍看上去很奇怪，但和分数结合起来讨论就显得很自然了。

我们知道分数1/3也可以写成0.333…，最后的三个点表示无限重复的“3”。这对我来说很重要，因为当我试着用长除法计算1/3时，我发现自己陷入了一个无限循环：1不够被3除，所以假设1是10，那么10除以3等于3余1；现在我回到了起点，又要拿1去除以3。我无法跳出这个循环，这就是在0.333…中“3”不断重复的原因。

关于0.333…末尾的三个点，有两种解释。其中，朴素的解释是，在小数点右边确实肩并肩地排列着无穷多个“3”。当然，正因为有无穷多个“3”，所以我们不能把它们全部写下来，而改用三个点表示它们都在那里，或者至少在我们的脑海中。我把这种解释称为实无穷解释，在我们不愿意过多地思考无穷含义的情况下，它的优点是看上去简单明了、符合常理。

复杂的解释是，0.333…代表极限，就像在比萨证明中极限矩形是有荷叶边形状的极限，或者墙是倒霉步行者的极限一样。只不过，这里的0.333…代表对分数1/3进行除法运算后得到的连续小数的极限。随着除法运算的不断进行，在1/3的小数展开式中会产生越来越多的“3”。通过努力计算，我们可以得到一个尽可能接近1/3的近似值。如果对1/3≈0.3的结果不满意，那么我们可以再算一步得到1/3≈0.33，以此类推。我把这种解释称为潜无穷解释，其中的“潜”意味着近似值的小数位数可以根据需要不断增多。没有什么能阻止我们进行100万次、10亿次或者更多次数的除法运算。这种解释的优点是，我们永远不必引入像无穷这样令人摸不着头脑的概念，而可以继续利用有限的概念。

在处理像1/3=0.333…这样的等式时，我们采取哪种观点其实并不重要。它们同样站得住脚，而且在我们想进行的任何计算中都能得出相同的数学结果。但在数学领域，还存在实无穷解释可能会导致逻辑混乱的其他情况，这就是我在引言中提及无穷像怪物一样恐怖时所要表达的意思。对于某个过程产生的不断接近极限的结果，无穷有时候确实会让我们形成不同的看法。但假装这个过程已经结束，并且以某种方式到达了无穷境界，我们偶尔也会因此陷入麻烦。