曲线、运动和变化
无穷原则围绕着方法论主题构建了微积分的故事。但微积分既与方法论有关，也与谜题有关。最重要的是，有三个谜题促进了微积分的发展，它们分别是曲线之谜、运动之谜和变化之谜。
围绕这些谜题的丰硕研究成果，证明了纯粹好奇心的价值。关于曲线、运动和变化的谜题乍看上去可能并不重要，甚至还深奥到令人绝望；但因为它们涉及丰富多彩的概念性问题，再加上数学与宇宙的结构有着密不可分的联系，所以这些谜题的解决方案对文明的进程和我们的日常生活产生了深远的影响。我们将在接下来的章节中看到，无论是在手机上听音乐，在超市激光扫描仪的帮助下轻松结账走人，还是利用GPS设备找到回家的路，我们都是在收获这些研究带来的好处。
一切都始于曲线之谜。在这里，曲线的含义非常宽泛，指任何形式的曲线、曲面或曲面体，比如橡皮筋、结婚戒指、漂浮的气泡、花瓶的轮廓或者一根意大利香肠。为了让物体尽可能地简单，早期的几何学家通常只专注于探究它们的抽象、理想的曲线形状，而忽略它们的厚度、粗糙度和织构。比如，数学中的球面被想象成一张无限薄且光滑的正圆形膜，而不是像椰子壳那样有厚度、凹凸不平和毛茸茸的形状。即使在这些理想化的假设条件下，曲线形状也会带来令人困惑的概念性难题，因为它们并非由平直的部件构成。三角形和正方形很容易理解，立方体也一样，它们都是由直线、平面和几个角连接在一起构成的。计算它们的周长、表面积或体积，也不是一件难事。不管是在古巴比伦、古埃及、古代中国和古印度，还是在古希腊和古代日本，全世界的几何学家都知道如何解决这些问题。但是，圆形物体则很棘手。没有人能算出一个球体的表面积或体积有多大，即使是求圆的周长和面积，在古代也是一个难题。人们既不知道该从何处着手，也找不到便于理解的平直部件。总之，所有弯曲的东西都难以捉摸。
微积分就是在这样的背景下诞生的，它萌生于几何学家对圆度的好奇心和挫败感。圆、球体和其他曲线形状是他们那个时代的“喜马拉雅山脉”，这并不是说它们造成了什么重大的实际问题（至少一开始不是），而是说它们激发了人类的冒险精神。就像攀登珠穆朗玛峰的探险家一样，几何学家之所以想解决曲线问题，是因为它们就在那里。
有些几何学家坚持认为“曲线事实上是由平直部件构成的”，这种观点带来了突破性进展。尽管这不是事实，但我们可以假装它是真的。那么，唯一的问题就在于，这些部件必须无穷小，而且数量无穷多。通过这个巧妙的构思，积分学诞生了，这是人们对无穷原则的最早应用。我们会用几个章节的篇幅来介绍无穷原则的发展历程，不过它的本质早在萌芽期就简单直观地展现出来了：如果我们让显微镜的镜头不断接近圆（或其他任何弯曲且光滑的物体），可观测到的那部分曲线看上去就会变得平直。所以，通过加总所有平直的小部件来计算我们想要的曲线形状的相关信息，至少在原则上是可行的。多个世纪以来，世界上最伟大的数学家都在努力探究这个难题的解决办法。不过，通过共同的努力（有时还伴有激烈的竞争），他们终于在破解曲线之谜上取得了进展。我们将会在第2章中看到，今天与其相关的副产品包括：电脑动画电影中用来绘制逼真的人物头发、服装和面部的数学工具，以及医生在给真正的患者做面部手术之前，先给虚拟患者做手术时用到的计算工具。
当人们清楚地认识到曲线不只是几何变换的结果时，对曲线之谜的探索达到了狂热的程度。曲线是破解大自然奥秘的钥匙，它们自然而然地出现在飞行球的抛物线轨迹中，也出现在火星围绕太阳旋转的椭圆轨道中。此外，在欧洲文艺复兴后期显微镜和望远镜蓬勃发展之时，曲线还出现在可根据需要弯曲和聚焦光线的凸透镜中。
于是，人们开始解决第二大谜题，也就是地球上和太阳系中的运动之谜。通过观察和巧妙的实验，科学家在最简单的运动物体中发现了迷人的数值模式。他们测量了钟摆的摆动，记录了球滚下斜坡的加速下降过程，还绘制了行星在天空中的运行轨迹。这些模式之所以让发现者欣喜若狂（这是真的，当约翰尼斯·开普勒发现了行星运动定律时，他自称陷入了“神明附体的狂热”状态），是因为它们似乎表明一切都出自上帝之手。从更世俗的角度看，这些模式强化了大自然具有深厚的数学根基的主张，就像毕达哥拉斯学派一直坚称的那样。唯一的问题是，没有人能解释这些不可思议的新模式，或者至少无法用已有的数学知识来解释它们，即使是当时最伟大的数学家也无法用算术和几何来完成这项任务。
问题在于，运动是不稳定的。在滚下斜坡的过程中，球的运动速度一直在变；在围绕太阳旋转的过程中，行星的运动方向也一直在变。更糟糕的是，当靠近太阳时行星的运动速度更快，而当远离太阳时它们的运动速度减慢。那时，人们并不知道该如何处理这种以不断变化的方式不停改变的运动。早期的数学家已经得出了描述最简单运动——匀速运动——的数学公式，即距离等于速度乘以时间。但是，当速度改变而且是持续不断地改变时，一切都变得不确定了。事实证明，运动跟曲线一样，也是一座概念上的珠穆朗玛峰。
我们将在本书的中间章节里看到，微积分的下一次重大进步源于对运动之谜的探索。就像在破解曲线之谜时一样，无穷原则再次挺身而出。这一次，我们的创造性假设是，速度不停变化的运动是由无穷多个无限短暂的匀速运动组成的。为了直观地说明这句话的意思，想象一下你正坐在一辆由新手司机驾驶的汽车里，车速忽快忽慢。你紧张地盯着车速里程表，它的指针随着汽车的每一次颠簸而上下移动。但在1毫秒（0.001秒）内，即便是驾车技术最差的人也无法让车速里程表的指针大幅移动。那么，在比1毫秒短得多的时间间隔（无穷小的时间间隔）内，指针根本不会移动，因为没人能那么快地踩油门。
这些想法共同构成了微积分的前半部分——微分学。它不仅是在研究不断变化的运动时处理无穷小的时间和距离变化所需的理论，也是在解析几何（主要研究由代数方程定义的曲线，在17世纪上半叶风靡一时）中处理无穷小的曲线平直部件所需的理论。的确，代数曾一度令人疯狂。它的普及对包括几何学在内的所有数学领域来说都是一大福祉，但它也创造出诸多难以驾驭的新曲线，有待人们去探索。17世纪中期，位于微积分舞台中央的曲线之谜和运动之谜相互撞击，在数学界引发了混乱和困惑。走出喧嚣之后，微分学渐趋成熟，但仍有争议。有些数学家因为草率地利用无穷而受到批评，有些数学家则嘲笑代数就是一堆符号的拼接。在这样的争吵声中，微积分的发展时断时续，非常缓慢。
之后，有一个孩子在圣诞节那天出生了。这个微积分的拯救者年幼时看起来完全不像一个英雄：他是一名早产儿，没有父亲，3岁时又被母亲遗弃了。想法消沉的孤寂男孩就这样长成了沉默寡言、猜疑心重的年轻人，不过，名叫艾萨克·牛顿的他日后会在世界上留下空前绝后的印记。
他先是解决了微积分的“圣杯”问题，发现了将曲线的各个部件重新组合起来的方法，而且是简单、快速和系统性的方法。通过把代数的符号与无穷的力量结合起来，他找到了一种方法，可以把任何曲线都表示成无穷多条简单曲线（用变量x的幂来描述，比如x2、x3、x4等）的和。仅用这些“食材”，通过加一点儿x、少许x2和满满一汤匙x3，他就可以“烹饪”出他想要的任何曲线。它好像一个主配方，使调味品、肉和菜合而为一。有了它，牛顿就能解决关于形状或运动的任何问题了。
之后，他破解了宇宙密码。牛顿发现，任何类型的运动都可以分解为每次移动一个无穷小步，而且每个时刻的变化都遵循用微积分语言表述的数学定律。他仅用几个微分方程（他的运动和万有引力定律），就能解释包括炮弹的飞行轨迹和行星的运行轨道在内的所有现象。牛顿的惊人的“世界体系”统一了天和地，掀起了启蒙运动，改变了西方文化，对欧洲的哲学家和诗人产生了巨大的影响。他甚至影响了托马斯·杰斐逊和《独立宣言》的起草。在我们的时代，当NASA（美国国家航空航天局）的非裔美国数学家凯瑟琳·约翰逊及其同事（小说和热门电影《隐藏人物》中的女主人公）设计宇宙飞船的飞行轨道时，牛顿的思想为她们提供了必要的数学计算方法，从而巩固了太空计划的基础。
在破解了曲线之谜和运动之谜后，微积分转向了它的第三个由来已久的谜题——变化之谜。永恒不变的唯有改变，尽管这句话是老生常谈，但它依然是真理。比如，今天是雨天，明天是晴天；今天股票市场上涨，明天股票市场下跌。受到牛顿范式的鼓励，后来的微积分研究者提出了一些问题：是否存在类似于牛顿运动定律的变化规律？有没有适用于人口增长、流行病传播和动脉中血液流动的定律？微积分可用于描述电信号沿神经纤维传导的方式，或者预测公路上的交通流量吗？
在执行这项宏大计划的过程中，微积分一直在与其他科技领域合作，为实现世界的现代化做出了贡献。通过观察和实验，科学家得出了变化定律，然后利用微积分求解并做出预测。比如，1917年，阿尔伯特·爱因斯坦将微积分应用于一个简单的原子跃迁模型，从而预测出一种被称为受激发射
的神奇效应。他对这种效应进行了理论阐述：在某些情况下，穿过物质的光能激发出更多波长相同和传播方向相同的光，并通过一种连锁反应产生大量的光，形成强烈的相干光束。几十年后，这个预测被证明是正确的。第一台可运行的激光器在20世纪60年代初建成，从那时起，光盘播放机、激光制导武器、超市的条形码扫描仪和医用激光器等设备都离不开激光。
变化定律在医学领域并不像在物理学领域那样为人熟知。然而，即便被应用于基本模型，微积分也能对挽救生命做出贡献。比如，我们在第8章会看到一个由免疫学家和艾滋病研究者建立的微分方程模型，在针对HIV感染者的现代三联疗法的形成过程中起到了什么作用。这个模型提供的见解推翻了“病毒在人体内处于休眠状态”的主流观点；事实上，病毒每时每刻都在与人体免疫系统进行着激烈的战斗。在微积分提供的这种新认识的帮助下，至少对那些有机会采取联合疗法的人来说，HIV感染已经从几乎被判了死刑的疾病转变为可控制的慢性疾病。
不可否认的是，我们身处一个不断变化的世界之中，它的某些方面超出了无穷原则固有的近似性和出自主观愿望的想法。比如，在亚原子领域，物理学家不能再把电子想象成像行星或炮弹那样沿光滑路径运动的经典粒子。根据量子力学，在微观尺度上，电子的运动轨迹会发生抖动，变得模糊不清和难以确定，所以我们需要将电子的行为描述成概率波，它不再遵循牛顿运动定律。然而，在我们做了这样的处理后，微积分又一次胜利归来，它通过薛定谔方程描述了概率波的演化过程。
尽管这令人难以置信，但它却是事实：即使在牛顿的物理学行不通的亚原子领域，他的微积分也依然有效。事实上，它的表现相当出色。我们将在后文中看到，微积分与量子力学共同预测出医学成像的显著效果，为MRI（磁共振成像）、CT（计算机断层成像）扫描和更加神奇的PET（正电子发射断层成像）奠定了基础。
现在是时候去更深入地了解宇宙的语言了，当然，我们这趟旅程的起点是“无穷”站。