3.6　曲面切面

三维空间曲面用z = f（x, y）函数来表达。三维空间某一点A（x₀, y₀, f（x₀, y₀））处曲面f（x, y）切面解析式也通过法向量来构造。根据前文反复提到的方法，首先构造函数F（x, y z）如下：

A点（x₀, y₀, z₀）法向量通过下式求得：

类似上一节方法，用空间定点A和法向量n来定义曲面在A点切面，如图3.37所示。

A点切面解析式具体计算过程如下：

其中，上式z即切面函数t（x, y），z₀即f（x₀, y₀），替换得到下式：

这和丛书第一册第6章中采用切面解析式完全一致。上式即泰勒一阶展开矩阵表达式。

更一般情况，对于多元函数f（x），当x足够靠近x_P时，f（x）函数值用泰勒一阶展开逼近，如下式：

其中，x为行向量，如下：

x_P为泰勒级数展开点（expansion point of Taylor series）；∇f（x_P）为多元函数f（x）在x_P处梯度行向量，如下：

其中，x为列向量，f（x）函数值用泰勒一阶展开逼近如下：

也用标量点乘来表达泰勒一阶级数展开，如下：

x为行向量时，f（x）泰勒二阶级数展开式矩阵运算如下：

其中，∇²f（x）_P 便是我们在丛书第三册第2章数学部分提到黑塞矩阵，表达式如下：

x为列向量时，f（x）泰勒二阶级数展开式矩阵运算如下：

下面用同样方法求解一个空间隐函数切面。圆心位于原点单位正球体解析式如下：

以上球面定点A坐标如下：

为了求解切面，先构造F（x, y, z）：

获得A点处法向量n：

然后就能获得球面A点切面解析式：

图3.38 所示为球面在A点法向量（按一定比例缩放）和过A点球面切面。

以下代码获得图3.38。

B4_Ch3_6.m

clc; close all; clear all
syms x y z
[xx, yy, zz] = ellipsoid(0,0,0,1,1,1,30);
F = x^2 + y^2 + z^2 - 1;
x0 = 1/2; y0 = 1/2; z0 = sqrt(2)/2;
g = gradient(F, [x, y, z])

dF_dx = subs(g(1), [x y z], {x0,y0,z0});
dF_dy = subs(g(2), [x y z], {x0,y0,z0});
dF_dz = subs(g(3), [x y z], {x0,y0,z0});

n = [dF_dx, dF_dy, dF_dz];
P_vector = [x-x0, y-y0, z-z0];
eqn = dot(n, P_vector) == 0;
plane_f = solve(eqn,z);

[xx0,yy0] = meshgrid(x0-0.5:0.25:x0+0.5, y0-0.5:0.25:y0+0.5);
zz0 = double(subs(plane_f,[x,y],{xx0,yy0}));

figure(1)
plot3(x0,y0,z0,'ro'); hold on
mesh(xx, yy, zz)
h_vector = quiver3(x0,y0,z0,dF_dx,dF_dy,dF_dz)
h_vector.AutoScaleFactor = 0.5;

mesh(xx0,yy0,zz0,'edgecolor','k','FaceAlpha',0)

axis equal; box on; grid off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); view(60,30)

下面用向量叉乘来解释曲面法向量。图3.39在第2章讨论梯度和方向性微分时已经了解过。下面从曲面切向量和法向量角度，再来挖掘一下这幅图。

图3.39曲面A点（x₀, y₀, f（x₀, y₀））处有两个切向量，一个平行于y轴，τ_y；另一个平行于x轴，τ_x。向量τ_y在x轴方向分量为0，在y轴分量记作Δy，在z轴分量为f_y Δy。f_y为f（x, y）沿y一阶偏微分。因此，向量τ_y记作：

令Δx = 1，向量τ_y记作：

同理，得到切向量τ_x表达式：

τ_y和τ_x两个向量叉乘结果即法向量n方向：

上式和之前推导法向量n反向。同样得到下式法向量n和之前推导同向：

然后，平面一个定点A（x₀, y₀, f（x₀, y₀）），和任意一点P（x, y, z）构成向量和法向量n，两者内积为0，如下：

同样也得到曲线A点切面解析式。此外，以上法向量随着A点坐标变化而变化；但法向量n在z轴上分量不变。