3.4　空间平面

过空间一点，与已知直线相垂直平面唯一，即平面上一点和平面法向量确定一个平面。

平面法向量为n = [m, n, p]^T，定点A坐标为（x₀, y₀, z₀），平面任意点P坐标为（x, y, z）。如图3.20所示，向量PA垂直于n，得到如下平面解析式：

上式整理如下：

已知空间平面解析式如下：

它的任意一点法向量求解用本章前文方法，首先定义一个函数F（x, y, z）如下：

A点（x₀, y₀, z₀）法向量通过下式求得：

从上式看到，平面各个点处法向量完全一致，和曲面上点具体位置无关。相信有些读者已经发现，上式n法向量定义和在上一章中介绍梯度几乎一致：

读者可能会发现，定义平面时通常采用的都是z = f（x, y）形式，即x和y为自变量，z = f（x, y）为因变量。假设c = -1，对平面方程式做一个整理，得到下式：

f（x, y）在某一点处梯度通过下式表达：

以上向量相当于空间法向量n在平面投影，如图3.21所示。在本章末会结合曲面继续讨论这一话题。

丛书第一册第5章中，展示过四个空间平面。这里，用以上方法求解并绘制法向量，如图3.22所示，发现平面上任意一点法向量平行。从梯度角度来看，这些梯度向量大小相等，方向相同。

以下代码获得图3.22。

B4_Ch3_5.m

syms x y z
f1 = x + y - z;
f2 = y - z + 5;
f3 = x - z + 5;
f4 = z - 5;

figure(1)
subplot(2,2,1)
plot_fig(f1)

subplot(2,2,2)
plot_fig(f2)

subplot(2,2,3)
plot_fig(f3)

subplot(2,2,4)
plot_fig(f4)

function plot_fig(f)
syms x y z

[xx,yy] = meshgrid([0:0.5:5,0:0.5:5]);

f_z = solve(f,z);
ff_z = double(subs(f_z, [x y], {xx,yy}));
g = gradient(f, [x,  y z]);
mesh(xx,yy,ff_z); hold on

x0 = xx(1:2:end,1:2:end);
y0 = yy(1:2:end,1:2:end);
z0 = ff_z(1:2:end,1:2:end);

dFF_dx = subs(g(1), [x y z], {x0,y0,z0});
dFF_dy = subs(g(2), [x y z], {x0,y0,z0});
dFF_dz = subs(g(3), [x y z], {x0,y0,z0});

h1 = quiver3(x0,y0,z0,dFF_dx,dFF_dy,dFF_dz,...
    'color',[255,153,255]/255);
h1.AutoScaleFactor = 1;
view(135,15); grid off; box on
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
xticks([0:2:4]); yticks([0:2:4]); zticks([0:2:10])
end

如图3.23所示，空间内任意一点Q（x_Q, y_Q, z_Q）到平面ax + by + cz + d = 0距离为d，d计算式如下：

上式可以推广到点到超平面距离；此外，这一公式的向量运算形式将出现在丛书第五本支持向量机（Support Vector Machine, SVM）内容中。