2.2　线性相关

给定向量组V = [v₁, v₂,…, v_q]，如果存在不全为零b₁、b₂、…、b_q使得下式成立：

则称向量组V线性相关（linear dependence）；否则，V线性无关（linear independence）。如图2.7（a）所示，线性无关v₁和v₂构造一个二维平面H，v₁和v₂常被称作基底向量（basis vector）。

在二维平面H内，â用v₁和v₂表示，从而v₁、v₂和â线性相关。图2.7（b）中，a不能用v₁和v₂表示，从而v₁、v₂和a线性无关。如果，â是a在H平面内投影，a中不能被v₁和v₂表达的部分，即a - â，垂直于H平面。

图2.7　线性相关与线性无关

图2.8（a）给出的平面内，x方向单位向量为i = [1, 0]^T，y方向单位向量为j = [0, 1]^T。图2.8（b）给出空间中，x方向单位向量为i = [1, 0, 0]^T，y方向单位向量为j = [0, 1, 0]^T，z方向单位向量为k = [0, 0, 1]^T。i、j和k这三个向量为相互垂直基底向量，也叫作正交基（orthogonal basis）；因为i、j和k这三个向量正交且模为1，因此它们也叫作标准正交基。如图2.8（c）和（d）所示，在平面内、三维空间中，数据可以通过这些空间基底向量表达。

图2.8　向量直角坐标系

下面举个例子，RGB（red green blue）三原色模型中任意一个颜色看成是以下三个基底向量构成线性组合。v₁代表红色，v₂代表绿色，v₃代表蓝色。

v₁、v₂和v₃这三个基底向量，模均为1，而且相互垂直，如图2.9（a）所示。

图2.9　三原色空间

图2.9（b）展示，v₁（[1, 0, 0] red）、v₂（[0, 1, 0] green）和v₃（[0, 0, 1] blue）这三个基底向量任意两个组合构造向量w₁（[1, 1, 0] yellow）、w₂（[1, 0, 1] magenta）和w₃（[0, 1, 1] cyan）。w₁、w₂和w₃也可以是三维空间基底向量；印刷四分色模式（CMYK color model）就引入w₁、w₂和w₃这三个基底向量。此外，CMYK还有一个维度，灰度。

从RGB模式向CMYK模式转换是一种基底转换。图2.10展示v₁、v₂和v₃这三个基底向量构造更多空间向量。

图2.10　三原色空间向量分布

除向量以外，在v₁、v₂和v₃这三个正交向量构造空间中，数据点也是一种重要数据展现形式，图2.11中数据点颜色对应即空间点位置。有这一节内容作为基础，本章下两节要从数据和向量投影两个角度研究数据矩阵。以下代码获得图2.9～图2.11。

图2.11　v₁、v₂和v₃这三个基底向量构造空间数据点

B4_Ch1_2.m

close all; clear all; clc

loc = [0,0,0];

figure(1)
x_i = [1,0,0]; y_j = [0,1,0]; z_k = [0,0,1];
plot_vector(loc,x_i); hold on
plot_vector(loc,y_j);
plot_vector(loc,z_k);
fig_dec

figure(2)
plot_vector(loc,x_i); hold on
plot_vector(loc,y_j);
plot_vector(loc,z_k);
plot_vector(loc,x_i+y_j); hold on
plot_vector(loc,x_i+z_k);
plot_vector(loc,y_j+z_k);

fig_dec

figure(3)
r     = 0.75;
[x,y,z] = Spherical_grid(r);

subplot(1,2,1)
x = x(:); y = y(:); z = z(:);
hold on
for i = 1:length(x)
    plot_vector(loc,[x(i),y(i),z(i)])
end
fig_dec

r     = 1;
[x,y,z] = Spherical_grid(r);

subplot(1,2,2)
x = x(:);
y = y(:);
z = z(:);
hold on
for i = 1:length(x)
    plot_vector(loc,[x(i),y(i),z(i)])
end
fig_dec

steps = [0:0.1:1];
[X,Y,Z] = meshgrid(steps,steps,steps);
figure(4)
scatter3(X(:),Y(:),Z(:),8,[X(:),Y(:),Z(:)],'filled'); hold on
fig_dec
view(115,20);

function [x_grid,y_grid,z_grid] = Spherical_grid(r)

theta = 0:pi/25:pi/2;
phi   = 0:pi/25:pi/2;
[theta,phi] = meshgrid(theta,phi);
x_grid = r.*sin(theta).*cos(phi);
y_grid = r.*sin(theta).*sin(phi);
z_grid = r.*cos(theta);

end
function plot_vector(loc,vec)
h = quiver3(loc(1),loc(2),loc(3),...
    vec(1),vec(2),vec(3),'color',vec);
h.AutoScale = 'off';
h.ShowArrowHead = 'off';
end

function fig_dec

daspect([1,1,1])
box off; view(135,20); axis tight; grid on
xticks([0:0.5:1]); yticks([0:0.5:1]); zticks([0:0.5:1])
xlabel('x, red'); ylabel('y, green'); zlabel('z, blue')
xlim([0,1]);ylim([0,1]);zlim([0,1]);
grid off
hAxis = gca;
hAxis.XRuler.FirstCrossoverValue  = 0; % X crossover with Y axis
hAxis.YRuler.FirstCrossoverValue  = 0; % Y crossover with X axis
hAxis.ZRuler.FirstCrossoverValue  = 0; % Z crossover with X axis
hAxis.ZRuler.SecondCrossoverValue = 0; % Z crossover with Y axis
hAxis.XRuler.SecondCrossoverValue = 0; % X crossover with Z axis
hAxis.YRuler.SecondCrossoverValue = 0; % Y crossover with Z axis

end