2.2　机翼颤振微分方程的建立

2.2.1　机翼单元的弯扭振动方程

长直机翼及其坐标系如图2-1所示，其半展长为l，半弦长为b。取固支端与机翼刚轴的交点为原点建立坐标系，y轴沿机翼轴线从翼根指向翼尖，x轴沿机翼弦向由前缘指向后缘，与y轴正交，z轴与x、y轴构成右手坐标系。在此坐标系下，机翼的弯扭振动微分方程可写为［48］

其中，h为机翼弯曲振动位移；α为机翼扭转振动转角；EI为机翼抗弯刚度；GJ为机翼抗扭刚度；m为机翼单位长度质量；Iα为单位长度机翼绕弹性轴的转动惯量；Lh为机翼单位长度的升力；Tα为机翼单位长度的扭矩；y为机翼展向坐标值；t为时间。机翼剖面图如图2-2所示，为机翼弹性轴到z轴的距离，xα为机翼弹性轴到机翼横截面重心的距离。

图2-1　长直机翼及其坐标系

图2-2　机翼剖面图

2.2.2　非定常气动力模型

在忽略机翼重力影响的条件下，机翼颤振时的外力只有气动力。本书采用片条理论进行非定常气动力计算。根据Theodorson理论，单位展长的非定常升力与相应的俯仰力矩按式（2-2）计算：

其中，V为空速；ρ为空气密度；C（k）为Theodroson函数；k为减缩频率，k=ωb/V；ω为圆频率；为机翼弹性轴到机翼弦长中点的距离占半弦长的百分比；其他变量说明同式（2-1）。

将式（2-2）代入式（2-1），得到机翼颤振微分方程：