6.4　基于加权多维标度的定位方法2

6.4.1　标量积矩阵的构造

这里的标量积矩阵与4.3.1节中的标量积矩阵相同，其表达式为

式中，为坐标矩阵，它由传感器和辐射源的位置向量构成，如下式　所示[6]：

式中

根据命题2.12可知，矩阵可以表示为

式中

6.4.2　一个重要的关系式

利用式（4.52）可以直接得到如下关系式：

式中

式（6.46）建立了关于辐射源位置向量的伪线性等式，其中一共包含个等式，而RSS观测量仅为个，这意味着该关系式是存在冗余的。下面可以基于式（6.46）构建针对辐射源定位的估计准则。

6.4.3　定位原理与方法

1．一阶误差扰动分析

在实际定位过程中，标量积矩阵的真实值是未知的，因为其中的真实距离平方应由其无偏估计值来代替，这必然会引入误差。不妨将含有误差的标量积矩阵记为，于是根据式（6.44）和式（6.45）可以将该矩阵表示为

由于，于是可以定义如下误差向量：

式中，表示中的误差矩阵，即有，它可以表示为

将式（6.50）代入式（6.49）中，可以将误差向量表示为关于误差的线性函数，如下式所示：

式中

式（6.51）的推导见附录C.2。由式（6.51）可知，误差向量的均值为零，协方差矩阵为

2．定位优化模型及其求解方法

一般而言，矩阵是列满秩的，即有。由此可知，协方差矩阵的秩也为，但由于是阶方阵，这意味着它是秩亏损矩阵，所以无法直接利用该矩阵的逆构建估计准则。下面利用矩阵奇异值分解重新构造误差向量，以使其协方差矩阵具备满秩性。

首先对矩阵进行奇异值分解，如下式所示：

式中，，为阶正交矩阵；为阶正交矩阵；为阶对角矩阵，其中的对角元素为矩阵的奇异值。为了得到协方差矩阵为满秩的误差向量，可以用矩阵左乘以误差向量，并结合式（6.49）和式（6.51）可得

由式（6.54）可得，将该式代入式（6.55）中可知，误差向量的协方差矩阵为

容易验证为满秩矩阵，并且误差向量的维数为，其与RSS观测量个数相等，此时可以将估计辐射源位置向量的优化准则表示为

式中，可以看作加权矩阵，其作用在于抑制估计误差的影响。不妨将矩阵分块表示为

于是可以将式（6.57）重新写为

根据命题2.13可知，式（6.59）的最优解为

【注记6.3】由式（6.53）、式（6.54）及式（6.56）可知，加权矩阵与辐射源位置向量有关。因此，严格来说，式（6.59）中的目标函数并不是关于向量的二次函数，针对该问题，可以采用注记4.1中描述的方法进行处理。理论分析表明，在一阶误差分析理论框架下，加权矩阵中的扰动误差并不会实质影响估计值的统计性能。

图6.10给出了本章第2种加权多维标度定位方法的流程图。

6.4.4　理论性能分析

下面将利用4.3.4节中的结论直接给出估计值的均方误差矩阵，并将其与克拉美罗界进行比较，从而证明其渐近最优性。

首先将最优解的估计误差记为，仿照4.3.4节中的理论性能分析可知，最优解是关于向量的渐近无偏估计值，并且其均方误差矩阵为

下面证明估计值具有渐近最优性，也就是证明其估计均方误差矩阵可以渐近逼近相应的克拉美罗界，具体可见如下命题。

【命题6.4】如果满足，则有。

【证明】当时，满足，将该近似等式代入式（6.56）中可得

接着将式（6.62）代入式（6.61）中可得

考虑等式，将该等式两边对向量求导可得

再用矩阵左乘以式（6.64）两边可得

结合式（6.38）和式（6.65）可得

最后将式（6.66）代入式（6.63）中可得

证毕。

6.4.5　仿真实验

假设利用8个传感器获得的RSS信息对辐射源进行定位，传感器二维位置坐标如表6.2所示，阴影衰落服从均值为零、协方差矩阵为的高斯分布。

首先将辐射源位置向量设为(m)，将标准差设为，将路径损耗因子设为，图6.11给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线；图6.12给出了定位结果散布图与误差概率圆环曲线。

然后将辐射源坐标设为两种情形：第1种是近场源，其位置向量为(m)；第2种是远场源，其位置向量为(m)，将路径损耗因子设为。改变标准差的数值，图6.13给出了辐射源位置估计均方根误差随着标准差的变化曲线；图6.14给出了辐射源定位成功概率随着标准差的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

接着将标准差设为两种情形：第1种是；第2种是，将路径损耗因子设为，将辐射源位置向量设为(m)。改变参数的数值，图6.15给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数的变化曲线；图6.16给出了辐射源定位成功概率随着参数的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

最后将标准差设为两种情形：第1种是；第2种是，将辐射源位置向量设为(m)。改变路径损耗因子的数值，图6.17给出了辐射源位置估计均方根误差随着路径损耗因子的变化曲线；图6.18给出了辐射源定位成功概率随着路径损耗因子的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

从图6.13～图6.18中可以看出：（1）基于加权多维标度的定位方法2的辐射源位置估计均方根误差同样可以达到克拉美罗界（见图6.13、图6.15及图6.17），这验证了6.4.4节理论性能分析的有效性；（2）随着辐射源与传感器距离的增加，其定位精度会逐渐降低（见图6.15和图6.16），其对近场源的定位精度要高于对远场源的定位精度（见图6.13和图6.14）；（3）随着路径损耗因子的增加，辐射源定位精度会逐渐提高（见图6.17和图6.18）；（4）两类定位成功概率的理论值和仿真值相互吻合，并且在相同条件下第2类定位成功概率高于第1类定位成功概率（见图6.14、图6.16及图6.18），这验证了3.2节理论性能分析的有效性。

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[1]这里的和的单位均为dBm。

[2]这里使用下角标“rss”来表征所采用的定位观测量。

[3]本节中的数学符号大多使用上角标“(1)”，这是为了突出其对应于第1种定位方法。

[4]这里使用下角标“rss”来表征此克拉美罗界是基于RSS观测信息推导出来的。

[5]参数k越大，辐射源与传感器之间的距离越远。

[6]本节中的数学符号大多使用上角标“(2)”，这是为了突出其对应于第2种定位方法。