5.3　基于加权多维标度的定位方法2

5.3.1　标量积矩阵的构造

方法2中标量积矩阵的构造方式与方法1中有所不同。首先令

利用传感器和辐射源的位置向量定义如下复坐标矩阵[9]：

式中

假设为列满秩矩阵，即有。然后构造如下标量积矩阵：

根据命题2.12可知，矩阵可以表示为

式中

式（5.100）和式（5.101）提供了构造矩阵的计算公式，相比于方法1中的标量积矩阵，方法2中的标量积矩阵的阶数增加了1维。现对矩阵进行特征值分解，可得

式中，，为特征向量构成的矩阵；，为特征值构成的对角矩阵，并且假设由于，则有。若令、及，则可以将矩阵表示为

再利用特征向量之间的正交性可得

【注记5.6】本章将矩阵的列空间称为信号子空间（也称为信号子空间矩阵），将矩阵的列空间称为噪声子空间（也称为噪声子空间矩阵）。

5.3.2　一个重要的关系式

下面将推导一个重要的关系式，它对于确定辐射源位置至关重要。首先将式（5.99）代入式（5.104）中可得

由式（5.105）可得

接着将式（5.97）代入式（5.106）中可得

然后将式（5.5）和式（5.98）代入式（5.107）中，并且同时消除等式两边的虚数单位可得

式中

显然，向量中包含了辐射源位置坐标，一旦得到了向量的估计值，就可以对辐射源进行定位。式（5.108）是关于向量的子空间等式，但其中仅包含噪声子空间矩阵。根据式（5.103）可知，标量积矩阵是由信号子空间矩阵表示的，因此下面还需要获得向量与矩阵之间的关系式，具体可见如下命题。

【命题5.3】假设是行满秩矩阵，则有

命题5.3的证明与命题5.1的证明类似，限于篇幅这里不再赘述。式（5.110）给出的关系式至关重要，但并不是最终的关系式。将式（5.110）两边左乘以可得

式中，第2个等号处的运算利用了式（5.103）。式（5.111）即为最终确定的关系式，它建立了关于向量的伪线性等式，其中一共包含个等式，而TDOA观测量仅为个，这意味着该关系式是存在冗余的。

5.3.3　定位原理与方法

下面将基于式（5.111）构建确定向量的估计准则，并给出其求解方法，然后由此获得辐射源位置向量的估计值。为了简化数学表述，首先定义如下矩阵和向量：

结合式（5.111）和式（5.112）可得

1．一阶误差扰动分析

在实际定位过程中，标量积矩阵和矩阵的真实值都是未知的，因为其中的真实距离差仅能用其观测值来代替，这必然会引入观测误差。不妨将含有观测误差的标量积矩阵记为，于是根据式（5.100）和式（5.101）可知，矩阵可以表示为

不妨将含有观测误差的矩阵记为，则根据式（5.109）和式（5.112）中的第1式可知

式中

由于，于是可以定义误差向量，忽略误差二阶项可得

式中，和分别表示和中的误差矩阵，即有和。下面需要推导它们的一阶表达式（即忽略观测误差的二阶及其以上各阶项），并由此获得误差向量关于观测误差的线性函数。

首先根据式（5.114）可以将误差矩阵近似表示为

利用式（5.118）可以将近似表示为关于观测误差的线性函数，如下式所示：

式中

其中

式（5.119）的推导见附录B.4。接着利用式（5.115）和矩阵扰动理论（见2.3节）可以将误差矩阵近似表示为

式中

结合式（5.122）和式（5.123），可以将近似表示为关于观测误差的线性函数，如下式所示：

式中

其中

式中，。式（5.124）的推导见附录B.5。

将式（5.119）和式（5.124）代入式（5.117）中可得

式中，。由式（5.129）可知，误差向量渐近服从零均值的高斯分布，并且其协方差矩阵为

2．定位优化模型及其求解方法

一般而言，矩阵是列满秩的，即有。由此可知，协方差矩阵的秩也为，但由于是阶方阵，这意味着它是秩亏损矩阵，所以无法直接利用该矩阵的逆构建估计准则。下面利用矩阵奇异值分解重新构造误差向量，以使其协方差矩阵具备满秩性。

首先对矩阵进行奇异值分解，如下式所示：

式中，，为阶正交矩阵；为阶正交矩阵；为阶对角矩阵，其中的对角元素为矩阵的奇异值。为了得到协方差矩阵为满秩的误差向量，可以将矩阵左乘以误差向量，并结合式（5.117）和式（5.129）可得

由式（5.131）可得，将该式代入式（5.132）中可知，误差向量的协方差矩阵为

容易验证为满秩矩阵，并且误差向量的维数为，其与TDOA观测量个数相等，此时可以将估计向量的优化准则表示为

式中，可以看作加权矩阵，其作用在于抑制观测误差的影响。不妨将矩阵分块表示为

于是可以将式（5.134）重新写为

再结合二次等式约束式（5.49）可以建立估计向量的优化模型，如下式所示：

显然，式（5.137）的求解方法与式（5.51）的求解方法完全相同，因此5.2.3节中描述的求解方法可以直接应用于此，限于篇幅这里不再赘述。类似地，将向量的估计值记为，根据式（5.17）中的第2式可知，利用向量中的前面3个分量就可以获得辐射源位置向量的估计值（即有）。

【注记5.7】由式（5.130）、式（5.131）及式（5.133）可知，加权矩阵与未知向量有关。因此，严格来说，式（5.137）中的目标函数并不是关于向量的二次函数，针对该问题，可以采用注记4.1中描述的方法进行处理。理论分析表明，在一阶误差分析理论框架下，加权矩阵中的扰动误差并不会实质影响估计值的统计性能[10]。

图5.10给出了本章第2种加权多维标度定位方法的流程图。

5.3.4　理论性能分析

下面将给出估计值的理论性能。需要指出的是，5.2.4节中的性能推导方法可以直接搬移至此，所以这里仅直接给出最终结论。

首先可以获得估计值的均方误差矩阵，如下式所示：

与估计值类似，估计值也具有渐近最优性，也就是其估计均方误差矩阵可以渐近逼近相应的克拉美罗界，具体可见如下命题。

【命题5.4】在一阶误差分析理论框架下，。

命题5.4的证明与命题5.2的证明类似，限于篇幅这里不再赘述。

5.3.5　仿真实验

假设利用6个传感器获得的TDOA信息（也即距离差信息）对辐射源进行定位，传感器三维位置坐标如表5.2所示，距离差观测误差向量服从均值为零、协方差矩阵为的高斯分布。

首先将辐射源位置向量设为 (m)，将标准差设为，图5.11给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线；图5.12给出了定位结果散布图与误差概率圆环曲线。

然后将辐射源坐标设为两种情形：第1种是近场源，其位置向量为(m)；第2种是远场源，其位置向量为(m)。改变标准差的数值，图5.13给出了辐射源位置估计均方根误差随着标准差的变化曲线；图5.14给出了辐射源定位成功概率随着标准差的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

接着将标准差设为两种情形：第1种是；第2种是，将辐射源位置向量设为(m)。改变参数的数值，图5.15给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数的变化曲线；图5.16给出了辐射源定位成功概率随着参数的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

从图5.13～图5.16中可以看出：（1）基于加权多维标度的定位方法2的辐射源位置估计均方根误差同样可以达到克拉美罗界（见图5.13和图5.15），这验证了5.3.4节理论性能分析的有效性；（2）随着辐射源与传感器距离的增加，其定位精度会逐渐降低（见图5.15和图5.16），其对近场源的定位精度要高于对远场源的定位精度（见图5.13和图5.14）；（3）两类定位成功概率的理论值和仿真值相互吻合，并且在相同条件下第2类定位成功概率高于第1类定位成功概率（见图5.14和图5.16），这验证了3.2节理论性能分析的有效性。

下面回到优化模型式（5.137）中，若不利用向量所满足的二次等式约束式（5.49），则其最优解具有闭式表达式，如下式所示：

仿照4.3.4节中的理论性能分析可知，该估计值是渐近无偏估计值，并且其均方误差矩阵为

需要指出的是，若不利用向量所满足的二次等式约束，则可能会影响最终的定位精度。下面不妨比较“未利用二次等式约束（由式（5.139）给出的结果）”和“利用二次等式约束（由图5.10中的方法给出的结果）”这两种处理方式的定位精度。仿真参数基本同图5.15和图5.16，只是固定标准差，改变参数的数值，图5.17给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数的变化曲线；图5.18给出了辐射源定位成功概率随着参数的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

从图5.17和图5.18中可以看出，若未利用向量所满足的二次等式约束，则最终的定位误差确实会有所增加。

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[1]若信号传播速度已知，则距离差与到达时间差是可以相互转化的。

[2]这里使用下角标“tdoa”来表征所采用的定位观测量。

[3]本节中的数学符号大多使用上角标“(1)”，这是为了突出其对应于第1种定位方法。

[4]也不会实质影响估计值的统计性能。

[5]由式（5.17）中的第2式可知，向量中的第4个分量一定是负数。

[6]这里使用下角标“tdoa”来表征此克拉美罗界是基于TDOA观测量推导出来的。

[7]

[8]参数k越大，辐射源与传感器之间的距离越远。

[9]本节中的数学符号大多使用上角标“(2)”，这是为了突出其是对应于第2种定位方法。

[10]加权矩阵中的扰动误差也不会实质影响估计值的统计性能。