5.2　基于加权多维标度的定位方法1

5.2.1　标量积矩阵的构造

在多维标度分析中，需要构造标量积矩阵，为此首先定义如下4维复坐标向量：

式中，表示虚数单位，满足；。基于上述坐标向量可以定义如下复坐标矩阵：

式中，[3]。假设为列满秩矩阵，即有。然后构造如下标量积矩阵：

容易验证，该矩阵中的第行、第列元素为

式中，。式（5.8）实际上提供了构造矩阵的计算公式，如下式所示：

现对矩阵进行特征值分解，可得

式中，为特征向量构成的矩阵；为特征值构成的对角矩阵，并且假设。由于，则有。若令、及，则可以将矩阵表示为

再利用特征向量之间的正交性可得

【注记5.1】本章将矩阵的列空间称为信号子空间（也称为信号子空间矩阵），将矩阵的列空间称为噪声子空间（也称为噪声子空间矩阵）。

【注记5.2】从式（5.9）中可以看出，矩阵的对角元素均等于零，即有。

5.2.2　一个重要的关系式

下面将给出一个重要的关系式，它对于确定辐射源位置至关重要。首先将式（5.7）代入式（5.12）中可得

由式（5.13）可知

接着将式（5.6）代入式（5.14）中可得

然后将式（5.5）代入式（5.15）中，并且同时消除等式两边的虚数单位可得

式中

显然，向量中包含了辐射源位置坐标，一旦得到了向量的估计值，就可以对辐射源进行定位。式（5.16）是关于向量的子空间等式，但其中仅包含噪声子空间矩阵。根据式（5.11）可知，标量积矩阵是由信号子空间矩阵表示的，因此下面还需要获得向量与矩阵之间的关系式，具体可见如下命题[41]。

【命题5.1】假设是行满秩矩阵，则有

【证明】首先利用式（5.16）可得

将式（5.19）两边右乘以，然后两边再同时除以可得

由于是行满秩矩阵，结合命题2.5和式（5.20）可得

根据对称矩阵特征向量之间的正交性可知，最后将该式与式（5.21）相结合可得

证毕。

式（5.18）给出的关系式至关重要，命题5.1是根据子空间正交性原理对其进行证明的，利用附录A.1中的方法同样可以证明该等式，限于篇幅这里不再赘述。

需要指出的是，式（5.18）并不是最终的关系式，为了得到用于定位的关系式，还需要将式（5.18）两边左乘以，可得

式中，第2个等号处的运算利用了式（5.11）。式（5.23）即为最终确定的关系式，它建立了关于向量的伪线性等式，其中一共包含个等式，而TDOA观测量仅为个，这意味着该关系式是存在冗余的。

【注记5.3】虽然在上面的推导过程中利用了信号子空间矩阵和噪声子空间矩阵，但是在最终得到的关系式（5.23）中并未出现这两个矩阵，这意味着无须进行矩阵特征值分解即可完成辐射源定位。

5.2.3　定位原理与方法

下面将基于式（5.23）构建确定向量的估计准则，并给出求解方法，然后由此获得辐射源位置向量的估计值。为了简化数学表述，首先定义如下矩阵和向量：

结合式（5.23）和式（5.24）可得

1．一阶误差扰动分析

在实际定位过程中，标量积矩阵和矩阵的真实值都是未知的，因为其中的真实距离差仅能用其观测值来代替，这必然会引入观测误差。不妨将含有观测误差的标量积矩阵记为，于是根据式（5.8）可知，矩阵中的第行、第列元素为

令，进一步可得

不妨将含有观测误差的矩阵记为，则根据式（5.17）中的第1式和式（5.24）中的第1式可知

式中

由于，于是可以定义误差向量，忽略误差二阶项可得

式中，和分别表示和中的误差矩阵，即有和。下面需要推导它们的一阶表达式（即忽略观测误差的二阶及其以上各阶项），并由此获得误差向量关于观测误差的线性函数。

首先基于式（5.27）可以将误差矩阵近似表示为

式中，。由式（5.31）可以将近似表示为关于观测误差的线性函数，如下式所示：

式中

其中

式（5.32）的推导见附录B.1。接着利用式（5.28）和矩阵扰动理论（见2.3节）可以将误差矩阵近似表示为

式中

结合式（5.35）和式（5.36）可以将近似表示为关于观测误差的线性函数，如下式所示：

式中

其中

式（5.37）的推导见附录B.2。

将式（5.32）和式（5.37）代入式（5.30）中可得

式中，。由式（5.41）可知，误差向量渐近服从零均值的高斯分布，并且其协方差矩阵为

2．定位优化模型

一般而言，矩阵是列满秩的，即有。由此可知，协方差矩阵的秩也为，但由于是阶方阵，这意味着其是秩亏损矩阵，所以无法直接利用该矩阵的逆构建估计准则。下面利用矩阵奇异值分解重新构造误差向量，以使其协方差矩阵具备满秩性。

首先对矩阵进行奇异值分解，如下式所示：

式中，为阶正交矩阵；为阶正交矩阵；为阶对角矩阵，其中的对角元素为矩阵的奇异值。为了得到协方差矩阵为满秩的误差向量，可以将矩阵左乘以误差向量，并结合式（5.30）和式（5.41）可得

由式（5.43）可知，将该式代入式（5.44）中可知，误差向量的协方差矩阵为

容易验证为满秩矩阵，并且误差向量的维数为，其与TDOA观测量个数相等，此时可以将估计向量的优化准则表示为

式中，可以看作加权矩阵，其作用在于抑制观测误差的影响。不妨将矩阵分块表示为

则可以将式（5.46）重新写为

需要指出的是，向量中的第4个元素（）与其中前3个元素（、及）之间存在约束关系，这使得向量满足如下二次关系式：

式中

结合式（5.48）和式（5.49）可以构建估计向量的优化模型，如下式所示：

根据2.2节中的讨论可知，式（5.51）可以利用拉格朗日乘子法进行求解，下面将描述其求解过程。

3．求解方法

为了利用拉格朗日乘子法求解式（5.51），需要首先构造拉格朗日函数，如下式所示：

不妨将向量与标量的最优解分别记为和，下面将函数分别对和求导，并令它们等于零，可得

由式（5.53）中的第1式可得

为了简化数学表述，不妨记

将式（5.55）代入式（5.54）中可得

接着再将式（5.56）代入式（5.53）中的第2式可得

式（5.57）是关于的一元方程，下面将该式转化为关于的一元多项式形式。

首先对矩阵进行特征值分解可得

式中，是由特征向量构成的矩阵；，其中表示矩阵的4个特征值。基于式（5.58）可得

结合式（5.58）和式（5.59）可以进一步推得

将式（5.59）和式（5.60）代入式（5.57）中可得

式中

将式（5.61）展开可得

对式（5.63）进行化简合并可得

式中

将式（5.64）两边同时乘以可得

式中

将式（5.66）展开，可以进一步表示为关于的标准多项式形式，如下式所示：

式中，均为多项式系数，它们的表达式为

通过求解一元多项方程式（5.68）的根，并将其代入式（5.56）中，即可得到向量的估计值。由式（5.17）中的第2式可知，利用向量中的前面3个分量就可以获得辐射源位置向量的估计值（即有）。

【注记5.4】由式（5.42）、式（5.43）及式（5.45）可知，加权矩阵与未知向量有关。因此，严格来说，式（5.51）中的目标函数并不是关于向量的二次函数，针对该问题，可以采用注记4.1中描述的方法进行处理。理论分析表明，在一阶误差分析理论框架下，加权矩阵中的扰动误差并不会实质影响估计值的统计性能[4]。

【注记5.5】理论上来说，一元多项方程式（5.68）共包含8个根，这就需要排除虚假根。判断虚假根的方法有很多，例如，可以直接排除复数根，或者根据向量中的第4个分量的符号来进行判断[5]，还可以利用下式来选取正确的根：

式中，表示利用根获得的辐射源位置向量的估计值；表示未被排除的根的个数。

图5.1给出了本章第1种加权多维标度定位方法的流程图。

5.2.4　理论性能分析

下面将推导估计值的理论性能，主要是推导估计均方误差矩阵，并将其与克拉美罗界进行比较，从而证明其渐近最优性。这里采用的性能分析方法是一阶误差分析方法，即忽略观测误差的二阶及其以上各阶项。

由于估计值是从估计值中获得的，下面首先推导向量的估计均方误差矩阵，并将其估计误差记为。基于式（5.51）及2.4.2节中的讨论可知，在一阶误差分析框架下，误差向量近似为如下约束优化问题的最优解：

式中，。式（5.71）的推导见附录B.3。根据式（2.65）可知，误差向量的一阶近似表达式为

由式（5.72）可知，估计误差渐近服从零均值的高斯分布，因此估计值是渐近无偏估计，并且其均方误差矩阵为

根据式（5.73），可以证明均方误差矩阵满足如下等式：

式（5.74）的成立是由于误差向量需要服从式（5.71）中的等式约束，由此可知并不是满秩矩阵。另一方面，将由估计值获得的辐射源位置解记为，相应的估计误差记为，则有

结合式（5.73）和式（5.75）可知，估计值的均方误差矩阵为

下面证明估计值具有渐近最优性，也就是证明其估计均方误差矩阵可以渐近逼近相应的克拉美罗界，具体可见如下命题。

【命题5.2】在一阶误差分析理论框架下，[6]。

【证明】首先根据命题3.1可知

式中

另一方面，定义如下对称矩阵[7]：

则由式（5.73）和命题2.8可得

将式（5.80）代入式（5.76）中可得

将式（5.49）两边对向量求导可得

式中

基于式（5.83）不难证明

结合式（5.82）和式（5.84）可得

于是根据正交投影矩阵的定义和命题2.8可得

将式（5.86）代入式（5.81）中可得

由式（5.83）可得

将式（5.79）和式（5.88）代入式（5.87）中可得

再将式（5.45）代入式（5.89）中可得

对比式（5.77）和式（5.90）可知，下面仅需要证明

考虑等式，将该等式两边对向量求导可得

再用矩阵左乘以式（5.92）两边，并且结合等式可得

由式（5.93）可知式（5.91）成立。证毕。

5.2.5　仿真实验

假设利用7个传感器获得的TDOA信息（也即距离差信息）对辐射源进行定位，传感器三维位置坐标如表5.1所示，距离差观测误差向量服从均值为零、协方差矩阵为的高斯分布。

首先将辐射源位置向量设为(m)，将标准差设为，图5.2给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线；图5.3给出了定位结果散布图与误差概率圆环曲线。

然后将辐射源坐标设为两种情形：第1种是近场源，其位置向量为(m)；第2种是远场源，其位置向量为(m)。改变标准差的数值，图5.4给出了辐射源位置估计均方根误差随着标准差的变化曲线；图5.5给出了辐射源定位成功概率随着标准差的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

接着将标准差设为两种情形：第1种是；第2种是，将辐射源位置向量设为(m)[8]。改变参数的数值，图5.6给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数的变化曲线；图5.7给出了辐射源定位成功概率随着参数的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

从图5.4～图5.7中可以看出：（1）基于加权多维标度的定位方法1的辐射源位置估计均方根误差可以达到克拉美罗界（见图5.4和图5.6），这验证了5.2.4节理论性能分析的有效性；（2）随着辐射源与传感器距离的增加，其定位精度会逐渐降低（见图5.6和图5.7），其对近场源的定位精度要高于对远场源的定位精度（见图5.4和图5.5）；（3）两类定位成功概率的理论值和仿真值相互吻合，并且在相同条件下第2类定位成功概率高于第1类定位成功概率（见图5.5和图5.7），这验证了3.2节理论性能分析的有效性。

下面回到优化模型式（5.51）中，若不利用向量所满足的二次等式约束式（5.49），则其最优解具有闭式表达式，如下式所示：

仿照4.2.4节中的理论性能分析可知，该估计值是渐近无偏估计值，并且其均方误差矩阵为

需要指出的是，若不利用向量所满足的二次等式约束，可能会影响最终的定位精度。下面不妨比较“未利用二次等式约束（由式（5.94）给出的结果）”和“利用二次等式约束（由图5.1中的方法给出的结果）”这两种处理方式的定位精度。仿真参数基本同图5.6和图5.7，只是固定标准差，改变参数的数值，图5.8给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数的变化曲线；图5.9给出了辐射源定位成功概率随着参数的变化曲线（图中的理论值是根据式（3.29）和式（3.36）计算得出的，其中m）。

从图5.8和图5.9中可以看出，若未利用向量所满足的二次等式约束，则最终的定位误差确实会有所增加，而且其对定位精度的影响与辐射源和传感器之间的相对位置有关。