2.4　关于矩阵扰动分析的预备知识

本节将介绍关于矩阵扰动分析的预备知识。所谓矩阵扰动分析，就是将一个受到误差扰动的矩阵表示成关于误差项的闭式形式（通常是多项式形式），在误差不是很大的情况下，通常保留误差的一阶项即可，该方法可称为一阶扰动分析，这也是本书中主要采取的方法。

首先给出一个关于逆矩阵求导的结论，具体可见如下命题。

【命题2.15】设矩阵是关于标量的连续可导函数，并且可逆，则有如下导数关系式：

【证明】首先根据逆矩阵的定义可知，将该等式两边对求导可得

证毕。

基于命题2.15可以得到如下结论。

【命题2.16】设可逆矩阵，该矩阵受到误差矩阵的扰动变为，并假设仍然为可逆矩阵，则有如下关系式：

式中省略的项为误差矩阵的二阶及其以上各阶项。

【证明】首先可以将矩阵表示为

然后结合一阶泰勒级数展开和式（2.71）可得

式中，表示误差矩阵的二阶及其以上各阶项。将式（2.74）代入式（2.75），可知式（2.73）成立。证毕。

当有多个受到误差扰动的矩阵相乘时，一阶扰动分析方法可以忽略各个误差矩阵之间的交叉项，下面总结一些主要结论。

设矩阵，，，其中、及均为误差矩阵，和均为可逆矩阵。在一阶扰动分析框架下可以得到如下一系列关系式：

式（2.76）～式（2.78）将在本书中多次使用。