1.3　卫星导航定位原理

1.3.1　伪距法测量

1. 伪距的概念

伪距法定位是最常用的一种定位方式，根据GNSS接收机在某一时刻得到的4颗或4颗以上GNSS卫星的伪距及已知的卫星坐标，采用空间距离交会法求得接收机天线所在点的三维坐标。所测伪距就是由卫星发射的信号到达GNSS接收机的传播时间乘以信号传播速度光速所得出的测量距离。由于卫星时钟、卫星坐标接收机的时钟、多路径效应及卫星信号经过电离层和对流层时产生的有延迟等误差因素的影响，实际测出的距离ρ'与卫星到接收机天线的几何距离ρ有一定的差值，因此一般称测量出的包含误差的距离为伪距。

通过测量GNSS卫星发射的测码距信号到达用户接收机的传播时间，可算出接收机到卫星的距离，即

ρ'=△t·c　（1.6）

式中，△t为传播时间；c为光速。

式（1.6）求出的距离为伪距ρ'，其与几何距离ρ之间的关系可用下式表示：

ρ'=ρ+δρ1+δρ2+cδti-cδtj　（1.7）

式中，δρ1与δρ2分别表示电离层与对流层的改正项；δti表示接收机时钟相对于标准时间的偏差；δtj表示卫星时钟相对于标准时间的偏差。

伪距法单点定位精度虽然不高（定位误差约为10m），但是由于伪距法定位使用的测距码具有无模糊度、定位速度快等优点，仍然是GNSS定位系统进行导航的基本方法。同时伪距又可以作为载波相位测量中解决整周期模糊度的辅助值。因此，了解伪距测量及伪距定位的基本原理和方法还是非常必要的。

2. 伪距测量原理

伪距定位中最关键的步骤是伪距测量，其基本过程如下。

GNSS卫星依据自己的时钟发出某一结构的测距码，该测距码经过τ时间的传播后到达接收机。接收机在自己的时钟控制下产生一组结构与卫星发出的测距码完全相同的码—复制码，并通过时延器使其延迟τ'的时间，将这两组测距码进行相关处理，若自相关系数R(τ')≠1，则继续调制延迟时间τ'直至自相关系数R(τ')=1为止，此时接收到的GNSS卫星测距码与接收机所产生的复制码完全对齐，延迟时间τ'即为GNSS卫星信号从卫星传播到接收机所用的时间，卫星至接收机的距离就是τ'与c的乘积。

伪距测量原理如图1.12所示，自相关系数R(τ')的测定由接收机锁相环中的积分器和相关器来完成。由卫星时钟控制的测距码a(t)在GNSS时间的t时刻从卫星天线发出，穿过电离层和对流层经时间延迟τ到达GNSS接收机，接收机所接收到的信号为a(t-τ)。由接收机时钟控制的本地码发生器会产生一个与卫星发出的测距码相同的本地码a(t+△t)，△t为接收机时钟与卫星时钟的钟差。码移位电路将本地码延迟时间τ'，相关器将所接收到的卫星信号进行相关运算，经过积分器后，即可得到自相关系数R(τ')

式中，T表示为测距码的周期；调整延迟时间τ'，可使相关输出值达到最大，从而得到伪距ρ'。图1.12是伪距测量原理图。

每一颗GNSS卫星产生并发射的测距码是按照一定规律排列的，在一个周期内码和时间是一一对应的。GNSS接收机识别出每个码的形状特征，即可推算出信号传播的时延τ'，进而得到伪距，所以伪距测量中可以采用码相关技术来确定伪距。但实际上在接收机中产生的每个码都带有一定的随机误差，并且卫星信号经过星地间长距离传送后受到误差影响，也会产生形变，所以根据测距码形状的特征来推算信号时延τ'就会产生较大的误差。而采用码相关技术在复制码和测距码间自相关系数R(τ')取最大值的情况下确定信号的传播时间τ'，就有效排除了各类随机误差的影响，实质上就是采用了多个测距码特征来确定时延τ'。由于接收机的复制码和卫星信号中的测距码在产生过程中均不可避免地带有误差，而且卫星信号中的测距码在传输过程中还会由于各种外界干扰而产生形变，两者的自相关系数无法达到“1”，只能在两者的自相关系数为最大时确认本地复制码和接收到的卫星测距码基本对齐，从而确定伪距。采用这种方式可以最大幅度地消除各种随机误差的影响，以达到提高精度的目的。

1.3.2　伪距观测方程及定位计算

1. 伪距观测方程的建立

在GNSS定位中，观测方程主要用来描述观测值与位置参数之间的函数关系。测距码信息（C/A码或P码）的距离延迟作为观测量的观测方程，称为伪距测量观测方程，也称伪距观测方程。

在建立伪距测量方程之前，我们先做一些符号上的规定：

（1）tj（GNSS）：卫星Sj发射信号时的理想GNSS时刻；

（2）ti（GNSS）：接收机Ti收到该卫星信号时的理想GNSS时刻；

（3）tj：卫星Sj发射信号时的卫星时钟的时刻；

（4）ti：接收机Ti收到该卫星信号时接收机时钟的时刻；

（5）：卫星信号到达观测站的传播时间；

（6）δtj：卫星时钟相对于理想GNSS时刻的钟差；

（7）δti：接收机时钟相对于理想GNSS时刻的钟差。

则有

信号从卫星传播到观测站的时间为

假设卫星至观测站的几何距离为，在忽略大气影响的情况下可得相应的伪距为

式中，，当卫星时钟与接收机时钟严格同步时，，式（1.11）确定的伪距就是站星之间的几何距离。

通常GNSS卫星的钟差可从卫星发播的导航电文中获得，经钟差改正后，各卫星之间的时间同步差可保持在20ns以内。如果忽略卫星钟差影响，并考虑到电离层、对流层折射的影响，可得伪距观测方程的常用形式为

式中，I(t)和T(t)分别指电离层折射改正和对流层折射改正。

2. 定位计算

在式（1.12）中，对流层和电离层折射改正项可以按照一定的模型进行计算，卫星钟差可以从导航电文中得到。假定对流层和电离层的折射改正项已经精确求得，且卫星时钟和接收机时钟的改正数也已知，那么一旦测定了伪距，实质上也就等于测定了站星间的几何距离。而几何距离ρi和卫星坐标(Xi,Yi,Zi)与接收机坐标(X,Y,Z)之间的关系如下：

由于卫星坐标可以根据卫星导航电文求得，因此式（1.13）中有3个未知数。若用户同时对3颗卫星进行伪距测量，即可解出接收机的位置（X，Y，Z）。

在上述假设中，任意观测瞬间的时钟改正数是精确已知的，而这只有稳定度特别好的原子钟才有可能实现，在数目有限的卫星上配备原子钟是可以办到的；但是在每一个接收机上都安装原子钟是不现实的，这不仅增加了接收机的体积和重量，而且大大增加了成本。

为了解决上面提出的问题，我们将观测时刻接收机的时钟改正数也作为一个未知数，那么在任何一个观测瞬间，用户至少需要同时观测4颗卫星，以便计算出这4个未知数。

观测站与卫星之间的几何距离是非线性的，即

将式（1.14）代入式（1.12）得到伪距

伪距定位方法如图1.13所示，用户同时观测标号分别为#1、#2、#3、#4的卫星，且假设各颗卫星的位置坐标即（Xi，Yi，Zi），i=1，2，3，4，是已知的，假设用户的真实位置与其估计位置坐标分别为（X,Y,Z）和（Xes，Yes，Zes），且有

各颗卫星到达用户估计位置的距离分别为ρes_1，ρes_2，ρes_3，ρes_4，因此有

将式（1.17）～式（1.20）用泰勒公式展开并代入式（1.15），得

将式（1.17）～式（1.20）代入式（1.21）～式（1.24），得到

式（1.25）～式（1.28）即为测码伪距观测方程的线性化形式，将其写为一般形式，即

式中，k，l，m是观测站至卫星的方向余弦。

为了求出用户的位置和卫星与接收机的钟差，只需计算出△x，△y，△z，，由于用户是同时观测4颗卫星的，因而4颗卫星与接收机钟差是相同的，记为△t，那么可以将式（1.25）～式（1.28）写为如下形式：

若忽略式（1.30）的最后一项，即电离层和对流层的折射修正项，则有

这样就求得了△x、△y、△z、△t。对于这种近似计算，考虑到近似坐标精度比较低，坐标改正量(△x,△y,△z)的值比较大，因此用坐标(Xes+△x,Yes+△x,Zes+△x)代替初始的用户近似位置坐标(Xes,Yes,Zes)，重复上述计算，如此进行迭代，直至两次迭代坐标无明显的差别，最终求出用户的坐标(X,Y,Z)。

1.3.3　载波相位测量

利用卫星测距码测距的精度较低，很难满足精密测量的要求，因此当要求测量精度达到厘米级甚至毫米级时，必须利用载波相位测量技术。

1. 载波相位测量原理

接收机需要在同一时刻测量载波信号在卫星和接收机处的相位，再将两者作差以获得卫星到接收机的伪距。例如，在某一时刻，卫星S发出一路载波信号，该信号在卫星S处的相位为φS，在接收机R处的相位为φR。φS和φR为从某一点开始计算的包括整周数在内的载波相位。为方便计算，均以周为单位，一周对应360°的相位变化，在距离上对应一个载波波长。若载波的波长为λ，则卫星S至接收机R间的距离为

ρ=λ(φS-φR)　（1.32）

但是在实际工作中，φS是无法测得的，代替的办法是由接收机的振荡器产生一个频率和初相与卫星信号完全相同的基准信号，使得在任意一个瞬间，接收机基准信号的相位就等于卫星S的信号相位。

在实际的载波相位测量中，所测得的相位差包括整周部分和不足一个整周的小数部分，即相位观测值为

φ=φS-φR=N+△φ　（1.33）

式中，N为整周数；△φ为不足一整周的小数部分。但是由于载波是一个单纯的正弦波，不具有任何可辨识的标识，因此无法确切知道正在测量的是第几周的相位。换句话说，N实际不能测定，这个未知的整数N称为整周未知数或整周模糊度。

2. 载波相位观测方程

载波相位观测量是接收机和卫星位置的函数，只有得到了它们之间的函数关系，才能从观测量中求解出接收机的位置。

假设载波信号是正弦波y=Asin(ωt+φ0)，卫星发射载波信号的时刻为tj，如果接收机的时钟无误差，则接收机产生复制信号的时刻也为tj，接收机接收到卫星信号的时刻为tk，则载波信号传播的时间为tk-tj=△t+N·T。于是可得星站间的距离为

式中，△φ'以弧度为单位，而N和△φ以周数为单位。由式（1.34）可得

λ·△φ=ρ-N·λ　（1.35）

当接收机在t0时刻锁定卫星信号并开始测量时，只能测出相位不足一周的小数部分△φ，即式（1.35）左端是可测得的，而初始时刻的相位整周数N是未知的，即式（1.35）右端两项是未知的。只要卫星不失锁，到ti时刻，卫星与接收机间的相位差将含有三项：一是初始时刻的整周部分，该部分是固定值；二是整周变化部分，该部分可由整波计数器测得；三是不足整周的小数部分。

用φ(ti)表示整周变化部分与不足整周部分之和，并考虑接收机钟差的影响，则载波相位观测方程为

λ·φ(ti)=ρ+c·δt(ti)-N·λ　（1.36）

将卫星和接收机的坐标代入式（1.36），并考虑电离层和对流层改正后可得

式中，l0包括几何距离近似值及电离层和对流层改正。式（1.37）中有5个未知数，如果观测5颗卫星则会有9个未知数。

近似载波相位观测伪距方程有

线性化之后得

3. 载波相位观测的主要问题

载波相位测量中，无法直接测定卫星载波信号在传播路径上相位变化的整周数，存在整周不确定性问题，即整周模糊度。此外，在接收机跟踪GNSS卫星进行观测的过程中，常常由于外界噪声信号干扰、接收机天线被遮挡等原因，导致卫星信号失锁，从而产生周跳现象。整周模糊度求解问题，是载波相位观测中的关键问题，也是难点问题，可通过适当的数据处理方法来解决。

如果要进行测相伪距动态绝对定位，观测前应将接收机固定在一点上观测一段时间，以求得整周模糊度，这一过程称为初始化，然后才能进行测相伪距动态绝对定位。

在载波相位观测时应注意，整周数的变化部分由计数器记录，这期间信号不能间断，如果此期间到达接收机的信号被遮挡造成失锁，遮挡期间整周计数暂停，遮挡移去后继续计数，这就丢掉了遮挡期间的若干相位周数。这种情况叫周跳，引起周跳的另一种原因是强电磁干扰。

1.3.4　卫星导航定位的精度

GNSS的定位精度主要取决于两个因素：卫星的几何分布和测量误差。GNSS定位误差可以用几何图形精度因子GDOP与总的等效距离误差σ的乘积来表示。本节将讨论如何测量误差的来源，评价定位精度的方法，以及卫星的几何分布对定位精度的影响等问题。

1. GNSS测量误差

GNSS卫星定位指通过地面接收卫星传送的载波相位、伪距和星历数据来确定地面某一点的三维坐标。GNSS的测量误差主要来源是GNSS卫星、信号的传播过程和接收机。在高精度的测量过程中，定位精度还会受到与地球整体运动有关的负荷潮汐、固体潮汐及相对论效应等的影响。

1）与GNSS卫星有关的误差（空间段误差）

这部分误差主要包括卫星星历误差和卫星时钟误差，它们是由于GNSS的地面监控部分不能准确地预测并测量出卫星时钟的钟漂和卫星的运行轨道而引起的。

卫星上虽然使用了高精度的原子钟，但它们仍不可避免地存在着误差。这种误差既包含系统误差（由频偏、钟差、频漂等产生的误差），也包含随机误差。系统误差要比随机误差大，但可以通过模型加以修正，因而随机误差就成为衡量卫星钟质量的重要标志。

GNSS地面监控部分用星历参数来描述、预测卫星运行的轨道，但GNSS卫星在运行过程中必然会受到各种复杂摄动力的影响，所以预测的轨道模型与卫星的真实轨道之间必然存在差异。各颗卫星的星历误差一般是相互独立的。

2）与信号传播有关的误差（环境段误差）

GNSS信号从卫星端传播到接收机需要穿越大气层，大气层对信号传播的影响主要是大气时延。大气时延误差通常分为对流层延时和电离层延时。

离地面50～1000km的大气层称为电离层，电离层中的大气分子和原子在太阳光的照射与地外高能射线的作用下，会分解成电子和大气电离子。当电磁波穿过充满电子的电离层时，它的传播速度和方向会发生改变，致使GNSS的测量结果产生电离层的偏离误差。

对流层位于大气层的底部，其顶部离地面大约40km，对流层集中了大气层99%的质量，其中的氮气、氧气和水蒸气等是造成GNSS信号传播时延的主要原因。卫星信号通过对流层时传播速度要发生变化，从而使测量结果产生相应误差，该误差会受到气压、气温及温度等因素的影响。

此外，接收机天线除了接收从GNSS卫星发射后经直线传播的电磁波信号，还可能接收一个或多个由该电磁波经周围地物反射一次或多次后的信号，这称为多路径效应。多路径效应同样会对GNSS的测量结果产生误差，该误差受接收机天线性能和接收机周围环境的影响。

3）与接收机有关的误差（用户段误差）

该部分含义相当广泛，包括接收机的位置误差（接收机天线零相位中心点与接收机位置不重合）、接收机的时钟误差、各部分电子器件的热噪声、信号量化误差、测定码相位与载波相位的算法误差及接收机软件中的计算误差等。

2. 精度因子

在导航学中，一般采用精度因子（Dilution of Precision，DOP）来评价定位结果，精度因子也称精度系数或误差系数，其对定位结果的影响为

mx=DOP·σ　（1.40）

DOP即伪距绝对定位中权系数矩阵中主对角线元素的函数，权系数矩阵为

或者表示为

式（1.42）中的元素反映了在一定的几何分布的情况下，不同参数的定位精度及其空间相关性的信息，这是评价定位结果的依据。利用这些元素的不同组合，即可从不同方面对定位精度做出评价。

式（1.42）的权系数矩阵一般是在空间直角坐标系中给出的，而实际为了估算观测站的位置精度，常采用其在大地坐标系中的表达式。假设在大地坐标系中，相应点位的权系数矩阵为

根据方差和协方差传播定律可得

式中，

在实际中，根据不同要求，可选用不同的精度评价模型和相应的精度因子，通常包括如下几种。

（1）三维位置精度因子PDOP（Position DOP），

PDOP=(q11+q22+q33)1/2　（1.47）

其相应的三维定位精度为

mP=PDOP·σ　（1.48）

（2）水平分量精度因子HDOP（Horizontal DOP），

HDOP=(q11+q22)1/2　（1.49）

其相应的水平分量精度为

mH=HDOP·σ　（1.50）

（3）垂直分量精度因子VDOP（Vertical DOP），

VDOP=(q33)1/2　（1.51）

其相应的垂直分量精度为

mV=VDOP·σ　（1.52）

（4）接收机钟差精度因子TDOP（Time DOP），

TDOP=(q44)1/2　（1.53）

其相应的钟差精度为

mT=TDOP·σ　（1.54）

（5）同时还有几何精度因子GDOP（Geometric DOP），几何精度因子是综合PDOP和TDOP，描述三维位置和时间误差综合影响的精度因子，

GDOP=(PDOP2+TDOP2)1/2=(q11+q22+q33+q44)1/2　（1.55）

其相应的时空精度为

mG=GDOP·σ　（1.56）

3. 卫星的几何分布

精度因子影响GNSS绝对定位的误差，而所测卫星的几何分布情况影响精度因子。由于观测卫星的选择和卫星的运动不同，所测卫星在空间的几何分布图形是不断变化的，因而精度因子的数值也是不断变化的。

既然卫星的几何分布图形影响精度因子，那么哪种分布图形比较适宜自然是值得关心的问题。理论分析得出结论：假设观测站与4颗卫星构成一个六面体，则精度因子GDOP与该六面体体积V的倒数成正比，即

从式（1.57）可以看出，所测卫星在空间的分布范围越大，六面体的体积就越大，则GDOP值越小；反之，六面体的体积越小，GDOP值越大。

理论分析表明：由观测站至4颗卫星的观测方向中，当任意两个方向之间的夹角接近109.5°时，其六面体的体积最大。但实际观测中，为减弱大气折射的影响，所测卫星的高度角不能过低。因此，必须在满足卫星高度角要求的前提下，尽可能使六面体的体积接近最大。通常认为，当高度角满足上述条件，1颗卫星处于天顶，而其余3颗相距约120°时，六面体体积接近最大，这可作为实际工作中选择和评价卫星分布的参考。图1.14为GDOOP比较图。