2.3　定性立体模型的构造化

2.3.1　问题提出

定性立体表达方法不仅应能够表达单个简单的机械零件形体，而且也应能够表达具有复杂形状的机械零件或者由多个机械零件组成的装配体，即复杂形体。直接用领域网络来表现复杂形体，将会不可避免地遇到若干问题。

（1）领域网络规模大大增加。由于通常由n个领域组成的领域网络拥有n×（n-1）/2根连接枝，因此连接枝的数目以领域数目的平方的程度增加。1000个领域的领域网络有499500根连接枝。

（2）单纯的领域网络无助于机械产品特征的有效表达。如果单纯考虑机械产品的形状，无疑应将其形体分割成若干个领域，把形体表述为领域网络是可以接受的。大多数机械零件的部分形体具有特殊的意义，即构成零件的形状特征，比如槽、通孔、盲孔、阶梯等。单纯的领域网络难以突出特征。对于机械装配体而言，如果用单纯的领域网络表现，则无法明确地区分哪几个领域构成某一个零件，更无法表现机械产品的模块关系和层次关系。这些关系是产品形状模型必须包含的，是用于完成产品功能分析或可制造性分析的重要信息。

（3）定性立体模型构建和修改的效率低。增添新的领域或者对定性立体模型进行修改时，按照定性立体模型直接构建方法，必须先求得新领域和其他既有领域的关系，然后将其加入领域网络。

为了提高定性立体模型构建效率和表现能力，提出了定性立体模型构造化方法。

2.3.2　定性立体模型构造化原理

定性立体模型构造化的中心思想：第一，将已有的定性立体模型（领域网络）进行处理或简化，以保证定性立体表达方法能够适用于较复杂形体；第二，通过对领域网络中的领域和相关的领域关系进行重新组织，使所得结果能够明确表达机械产品具有特殊意义的特征。

本章提出的定性立体模型构造化方法是在综合考虑领域网络的信息量和计算量的基础上，减小领域网络的规模。

2.3.2.1　领域网络相关概念

引入若干领域网络的概念。

定义2.5　由代表构成三维形体的所有领域的节点以及所有代表领域之间关系的连接枝组成的领域网络被称为完全领域网络。

定义2.6　删除完全领域网络中的部分连接枝所得的领域网络被称为简化领域网络。

定义2.7　恢复简化领域网络中被删除的连接枝所得的领域网络被称为恢复领域网络。

定义2.8　由代表构成三维形体的一部分领域的节点以及代表这些领域间的所有领域关系的连接枝所组成的领域网络被称为局域领域网络。

定义2.9　将某个完全领域网络划分成若干局域领域网络，并将分属各局域领域网络的一部分领域指定为相应局域领域网络的参照领域。由所有参照领域以及代表分属不同局域领域网络的参照领域之间的领域关系所构成的领域网络被称为参照领域网络。

定性立体模型构造化相关的几种领域网络如图2-8所示。图2-8（a）表示一个由8个领域构成的完全领域网络。该完全领域网络拥有28根连接枝。将8个领域分成两组，每组4个领域，得到图2-8（b）所示的两个局域领域网络。局域领域网络虽然相对于原来的完全领域网络是局部的，但其本身又是完全的，因为它们包括所有组成该局域领域网络的领域间的关系。图2-8（b）中填黑的节点代表被选定的参照领域（下同）。图2-8（c）表示由参照领域构成的参照领域网络。参照领域网络可以看成连接局域领域网络的桥梁，它们不包括任何同属一个局域领域网络的领域之间的关系。图2-8（d）表示根据局域领域和参照领域网络构建的简化领域网络。简化领域网络可以看成从完全领域网络中删除不属于图2-8（b）和图2-8（c）的连接枝之后得到的结果，也可以看成局域网络和参照领域网络合成的结果。重新恢复简化领域网络中被删除的连接枝而得到的领域网络即为如图2-8（e）所示的恢复领域网络。

2.3.2.2　定性立体模型构造化流程

定性立体模型构造化流程如图2-9所示。首先，以已知的完全领域网络作为输入，将其中的领域分成若干组，并从完全领域网络中取出各组所有的领域关系，从而构成若干个局域领域网络。然后，为了能够求取分属不同局域领域网络的领域之间的关系，应先确定每个局域领域网络中的一个或一个以上的领域作为参照领域，接着从完全领域网络中取出连接分属不同局域领域网络的参照领域的连接枝，从而构建参照领域网络。最后，合成局域领域网络和参照领域网络，便得到重构的简化领域网络。

步骤1　构建局域领域网络。构建局域领域网络主要由用户选择各局域领域网络的构成领域而完成。首先，用户指明需要构建的局域领域网络的数目，然后指定各局域领域网络的组成领域。用户需要考虑以下事项：同一领域不能同属于两个或两个以上的局域领域网络；一个领域必须属于某个局域领域网络；如果完全领域网络所表现的形体是单一机械零件，则尽可能将表现零件上的孔、槽或者零件上的阶梯等形状特征的领域组成一个局域领域网络；如果完全领域网络所表现的形体是装配体或完整产品，则将构成该装配体的零件或部件的领域归属于同一个局域领域网络。

步骤2　构建简化领域网络。定性立体模型构造化的本质是领域网络的简化，其核心是删除领域网络的连接枝，关键是参照领域的选择。删除连接枝意味着领域网络可能的信息丢失。如何使得领域网络简化与领域网络信息保护统一成为一个重要的问题。可以将参照领域的选择看作一个优化问题，见式（2-6）。也就是说，参照领域选择问题是以如何使领域网络的规模最小化为目标函数的问题，而该问题的优化变量为各局域领域网络的参照领域集合（rdsi），约束条件是参照领域的数目（约束条件C1）、领域网络的信息量（约束条件C2）和计算量（约束条件C3）。这里涉及定性立体模型构造化效果评价问题。首先，领域网络的规模将是衡量定性立体模型构造化效果的一个重要指标。其次，盲目删除领域网络中的连接枝显然是不合适的，因为还需要考虑必要时可能又需要恢复被删除的连接枝。被删除的连接枝越多，反过来用于恢复领域网络的计算量也会越大。因此，恢复领域网络所需的计算量是作为衡量定性立体模型构造化效果的重要指标。最后，由于定性立体模型构造化常常伴随领域网络所含信息的丢失，恢复领域网络的信息量是衡量定性立体模型构造化效果的第三个重要指标。

优化参数：rdsi，第i个局域领域网络中的参照领域集合。

约束条件C1：rdsi⊆第i个局域领域网络的领域集合。

约束条件C2：I≤α（最小信息量≤α≤1）。

约束条件C3：C≤β（0≤β≤最大计算量）。

领域网络的规模、信息量和计算量的计算方法如下。

1）领域网络的规模

领域网络连接枝的数目即领域网络的规模。完全领域网络的规模是其构成领域两两组合的组合数。因此，这里重点考虑如何计算简化领域网络的规模。假设简化领域网络中的局域领域网络的总数为L、第i个局域领域网络中的领域总数为Di、第i个局域领域网络中的参照领域数为Ri、参照领域的总数为R，则简化领域网络规模的计算式见式（2-7）。其中，C2·为组合数的计算式。式（2-7）等式右边的第一项为所有局域领域网络连接枝的总数，第二项为所有连接任意两个参照领域连接枝的总数。由于第一项与第二项同时包含连接属于相同局域领域网络参照领域的连接枝，所以必须减去第三项，即连接属于相同局域领域网络参照领域连接枝的总数。后两项的差为参照领域网络中所包括连接枝的总数。

其中，Di≥Ri≥1。

2）领域网络的信息量

领域网络的信息量实际上代表领域网络的确定程度。信息量越小，领域网络越确定。首先考虑连接枝的信息量。当连接枝所表示领域关系的三个方向（X、Y、Z轴）关系分量唯一确定，即各分量均有确定的唯一值时，该连接枝具有最大的信息量。当三个方向分量都取13个可能的值时，该连接枝具有最小的信息量。任意连接枝的信息量见式（2-8）。

其中，Nx、Ny、Nz分别代表X、Y、Z方向的领域关系分量可能值的数目。假设有这样一条连接枝SR（A B）=（（RmRb）（Ro）（RsRsiRoRd）），其信息量为1/（2×1×4）=1/8，连接枝的最大信息量为1，则该连接枝是完全确定的，连接枝的最小信息量为1/（13×13×13）=1/2197。

接着考虑领域网络的信息量。这里主要考虑恢复领域网络的信息量，因为恢复领域网络是推导出来的，常常存在不确定性。领域网络的信息量按照式（2-9）计算，是所有连接枝信息量的乘积。由N个领域构成的领域网络的信息量最小为2/（N×（N-1）×133）。领域网络的信息量用来定量评价由于定性立体模型构造化而产生的信息损失程度。由简化领域网络推导出来的恢复领域网络的信息量可以用来表示简化领域网络与完全领域网络之间的差异。

其中，N为领域总数；Ii为某个连接枝的信息量。

3）恢复简化领域网络所需计算量

因此从简化领域网络构造恢复领域网络需要多次运用领域关系传递律，所以领域关系传递律的使用总次数可以用来代表恢复简化领域网络所需的计算量。首先，考虑恢复只有两个局域领域网络简化领域网络的情况。假定这两个局域领域网络为局域领域网络i和局域领域网络j，记为LDNi和LDNj（LDN为英文Local Domain Network的缩写）。而且，假定两个局域领域网络分别拥有Di、Dj个领域，Ri、Rj个参照领域，Ni、Nj个非参照领域。需要的计算量可用如图2-10所示的方法算出。

（1）图2-10（a）（b）表示借助于局域领域网络LDNi的参照领域，恢复局域领域网络LDNi的非参照领域与局域领域网络LDNj的参照领域的连接枝的步骤。图中，虚线箭头表示已有的并且用于恢复原来的连接枝的连接枝，粗实线箭头代表被恢复的连接枝，细实线代表其他已有连接枝。如果局域领域网络LDNi有N个参照领域，那么为了恢复连接局域领域网络LDNi的某一个非参照领域与局域领域网络LDNj的某一个参照领域的连接枝，可考虑相同的N条可能的关系传播路径。由于沿着某一条传播路径，利用领域关系传递律导出的领域关系一般不是唯一的，所以需要对所有（N条）可能的传播路径应用领域关系传递律，提取对应轴（X轴、Y轴、Z轴）方向的领域关系分量的共同项，得到最终的领域关系。因此，需要计算应用领域关系传递律的次数。式（2-10）等式右边第一项表示恢复连接局域领域网络LDNi的所有非参照领域与局域领域网络LDNj的所有参照领域的连接枝所需的计算量。

（2）图2-10（c）表示借助局域领域网络LDNj的参照领域，恢复连接局域领域网络LDNi的非参照领域与局域领域网络LDNj的非参照领域的连接枝的步骤。式（2-10）等式右边的第二项表示所需的计算量。

（3）图2-10（d）（e）（f）表示借助局域领域网络LDNj的参照领域，恢复连接局域领域网络LDNi的参照领域与局域领域网络LDNj的非参照领域的连接枝的步骤。式（2-10）等式右边的第三项表示所需的计算量。

式（2-10）给出从局域领域网络LDNi到局域领域网络LDNj恢复所有被删除的连接枝所需的计算量。反过来，从局域领域网络LDNj到局域领域网络LDNi恢复所有被删除的连接枝所需的计算量见式（2-11）。比较两式可知，两种步骤所需的计算量并不一定相同，取决于局域领域网络参照领域的数目。

基于上述讨论，可以得到恢复由L个局域领域网络组成的简化领域网络所需的总计算量，见式（2-12）。由L个局域领域网络可以组合成L×（L-1）/2个局域领域网络对，而将每对局域领域网络（A和B）恢复为部分简化领域网络时，由于A到B和B到A的传播路径不同，所以简化领域网络恢复需要的计算量也不同，可能会有2L×（L-1）/2种结果。其中，包含一个最大值和一个最小值。

表2-3描述实现参照领域选择的算法（领域弱和演算）。用户预先作为要求设定最小允许信息量α和最大允许计算量β。从每个局域领域网络取不少于1个领域（最多可以是该网络的所有领域）作为参照领域，构建所有可能的简化领域网络。然后，利用式（2-7）、式（2-9）、式（2-12）计算简化领域网络的规模、信息量和计算量。如果算出的最小信息量大于最小允许信息量，而且最大计算量小于最大允许计算量，那么所对应的简化领域网络满足用户要求。当满足要求的简化领域网络不止一个时，可选取最小规模的简化领域网络或者由用户选择简化领域网络。如果没有一个简化领域网络满足要求，那么用户可以修正要求，重新进行参照领域的选择。

2.3.3　定性立体模型的多层次构造化

对完全领域网络构造化，可以得到由若干个局域领域网络组成的简化领域网络。而对于更复杂的形体而言，这些局域领域网络的规模有时仍然较大。如果再将每个局域领域网络看成新的完全领域网络，则对它们继续进行构造化处理，便可以得到多层次的定性立体模型，从而进一步简化定性立体模型。

假设最初的完全领域网络为第0级领域网络，随着构造化的深入，领域网络的级别也相应增加。图2-11为多层次构造的定性立体模型，表示一个三层次的定性立体模型。最初的完全领域网络经过构造化处理简化成由两个局域领域网络组成的简化领域网络，接着第1级的各个局域领域网络通过构造化处理又分别简化成各由两个第2级局域领域网络组成的简化领域网络。最初的完全领域网络被最终简化成由四个局域领域网络和各级参照领域网络组成的多层次简化领域网络。

为了描述多层次的定性立体模型，需要保存以下信息。局域领域网络表是定性立体模型构造化的最初（LDN0）、中间（LDN11和LDN12）以及最后（LDN21、LDN22、LDN23、LDN24）的所有局域领域网络的集合。该表的要素包括级别号、参照领域表以及非参照领域表。最初的局域领域网络代表最初的完全领域网络，其级别号为0，参照领域表为空集，而非参照领域表包括所有领域。剩余连接枝表包括两个表，其中一个表为属于各级参照领域网络的连接枝表，另一个表为最后的局域领域网络的所有连接枝表。

2.3.4　构造化定性立体模型的复原

定性立体模型的构造化主要考虑如何在表达复杂形体时更节省空间。根据设计过程的进展，恢复构造化的定性立体模型也是必要的。对模型中连接枝（包括已被删除的连接枝）的查询也是必不可少的，查询中主要考虑以下三种情况。

（1）两个领域同属一个最后的局域领域网络。例如，图2-11中领域D1和D2之间的连接枝可以从最后的局域领域网络的连接枝表中检索获得。

（2）两个领域分别为同一局域领域网络的下一级不同局域领域网络的参照领域。例如，图2-11中领域D3和D4、D5和D6的连接枝可以直接从参照领域网络的连接枝表中检索获得。

（3）两个领域属于不同的最后的局域领域网络。例如，图2-11中领域D1和D7的连接枝。首先，从定性立体模型的局域领域网络表中检索出同时拥有两个领域的最低级的局域领域网络（本例为LDN0）。然后，同样从局域领域网络表中检索出将LDN0构造化而得到的两个局域领域网络（LDN11和LDN12）。接着，从最后的局域领域网络（LDN21和LDN22、LDN23和LDN24）中恢复LDN11和LDN12。最后，算出LDN11和LDN12的关系。

2.3.5　示例

本节介绍一个相对简单但足以说明定性立体模型多层次构造化思想的装配体示例。装配件是由插座（图2-12（a1））和插头（图2-12（a2））组成的部件（见图2-12（d1））。图2-12（b1）和图2-12（b2）分别为插座和插头的领域复合体。图2-12（c1）和图2-12（c2）分别为插座和插头的定性立体模型的内容。图2-12（d2）则给出了组成插座和组成插头的领域之间的关系，描述了插座与插头的装配关系。装配件定性立体模型的内容包括如图2-12（c1）、图2-12（c2）和图2-12（d2）所示的所有内容。装配件的完全领域网络共拥有8个领域和28根连接枝。

以装配体的完全领域网络作为第0级局域领域网络，以表示插座和插头的领域网络作为第1级局域领域网络，共有217个可能的简化领域网络，最大计算量为24，最小信息量为1/184548。定性立体模型的构造化如图2-13所示。

假设最小允许信息量为1/50000，最大允许计算量为23，得到满足要求的简化领域网络共有56个。图2-13（a）给出了其中的两个。第一个简化领域网络的连接枝保留17根，比最初的完全领域网络少11根。该简化领域网络的最小信息量为1/225，最大信息量为1/135。第8个简化领域网络保留了21根连接枝，最小信息量为1/25，信息的损失极少，所需的计算量也少于第一个简化领域网络。图2-13（b）给出选择上述第一个简化领域网络作为构造化的结果，保存在局域领域网络表以及剩余连接枝表中的内容。

对表示插座和插头的第1级局域领域网络再进行一次构造化，得到的三层次定性立体模型见图2-13（c）。此时，定性立体模型中连接枝的数目已经减少到14根，即其规模只是最初完全领域网络规模的一半。图2-13（d）是最终的多层次定性立体模型。在第0级、第1级中装配零件的层次关系得以体现。图2-13（e）给出定性立体模型领域关系查询的若干结果。