1.3 像素间联系

图像是一个整体概念，它本身可以分解为更小的单元。如果把一幅图像看作一个集合，那么其中的每个子集就可看作是一个子图像。子图像可大可小，一般包含一组像素，它们常组合成空间上互相接近的一团（称为团点/团块）。一般情况下，像素常常被看作图像中的基本单元，但在有些应用中还需要考虑子像素。

一幅图像包含大量的像素，这些像素在图像空间是按某种规律排列的（最常见的是排列成正方形网格），相互之间有一定的关系。事实上，一个具有1000×1000单元的图像传感器矩阵只有10-3的相对分辨率。这个数值与其他测量值如长度、电压、频率等相比都比较小，那些测量值的相对分辨率可以远高于 10-6。但是，这些测量值如长度、电压、频率等技术所提供的仅是对一个点的测量值，而一幅1000像素×1000像素的图像包含一百万个单元，即它是对一百万个点的测量结果。因此，图像不仅给出了特定空间点的信息，同时还给出了空间中变化的信息。如果采集图像序列，那么时间变化信息（即客观世界的动态信息）也可以获得。另外，当空间变化是 3-D时，那么与此对应的图像已经是3-D的，如再加上时间变化就成为4-D的了。由此可见，图像的灰度（或其他属性值）同时表达了许多时空位置及其分布的信息，而其他物理量仅反映了某一个时空位置的信息。图像的这种能力与像素间联系密切相关，所以要对图像进行有效的加工，必须考虑像素之间的联系。

1.3.1 像素邻域

要讨论像素之间的关系，首先要讨论每个像素由近邻像素组成的像素邻域，也简称邻域。邻域中的像素具有很紧密的联系，互相之间有较大的影响。

1.邻域

对一个坐标为（x，y）的像素p来说，它可以有4个水平和垂直的近邻像素，它们的坐标分别是（x+1，y），（x - 1，y），（x，y+1），（x，y - 1）。这些像素（均用r表示）组成p的4-邻域，记为N4（p），如图1.3.1 （a）所示。像素p的4个对角近邻像素（用s表示）的坐标是（x+1，y+1），（x+1，y-1），（x-1，y+1），（x-1，y-1）。它们记为对角邻域ND（p），如图1.3.1（b）所示。像素p的4个4-邻域近邻像素加上4个对角邻域像素合起来构成p的8-邻域，记为N8（p），如图1.3.1（c）中的r和s所示。

2.邻接和连接

对两个像素p和q来说，如果q在p的邻域中（可以是4-邻域、8-邻域或对角邻域），则称p和q满足邻接关系（且可分别对应4-邻接、8-邻接或对角邻接）。如果p和q是邻接的，且它们的灰度值均满足某个特定的相似准则（例如它们的灰度值相等或在同一个灰度值集合中取值），则称p和q满足连接关系。举例来说，在一幅只有0和1灰度的二值图中，对一个像素和在它邻域中的像素来说，只有当它们具有相同的灰度值时才可以说是连接的。可见连接比邻接要求更高，不仅要考虑空间关系，还要考虑灰度关系。

3.连通和通路

如果像素p和q不（直接）邻接，但它们均在另一个像素的相同邻域中（可以是4-邻域、8-邻域或对角邻域），且这3个像素的灰度值均满足某个特定的相似准则（如它们的灰度值相等或同在一个灰度值集合中取值），则称p和q是连通的（可以是4-连通、8-连通或对角连通，与邻域形式对应）。由于两个像素都与另一个像素连接而连通，所以从这个意义上讲，连通是连接的推广。进一步来说，只要两个像素p和q间有一系列依次连接的像素使得p和q是连通的，则这一系列连接的像素构成像素p和q间的通路。从具有坐标（x，y）的像素p到具有坐标（s，t）的像素q的一条通路由一系列具有坐标（x0，y0），（x1，y1），…，（xn，yn）的独立像素组成。这里（x0，y0） = （x，y），（xn，yn） =（s，t），且（xi，yi）与（xi-1，yi-1）邻接，其中1 ≤ i ≤ n，n为通路长度。

4.图像子集的联系

一幅图像中的某些像素结合组成图像的子集合。对两个图像子集S和T来说，如果S中的一个或一些像素与T中的一个或一些像素邻接，则可以说两个图像子集S和T是邻接的。这里根据所采用的像素邻接定义，可以定义或得到不同的邻接图像子集。如可以说两个图像子集是4-邻接的，两个8-邻接的图像子集等。

类似于像素的连接，对两个图像子集S和T来说，要确定它们是否连接也需要考虑两点：它们是否是邻接图像子集；它们之中邻接像素的灰度值是否满足某个特定的相似准则。换句话说，如果S中的一个或一些像素与T中的一个或一些像素连接，则可以说两个图像子集S和T是连接的。

设p和q是一个图像子集S中的两个像素，如果存在一条完全由S中的像素组成的从p到q的通路，那么就称p在S中与q相连通。对S中的任何一个像素p，所有与p相连通且又在S中的像素的集合（包括p）合起来称为S中的一个连通组元（组元中任意两点可通过完全在组元内的像素相连接）。如果S中只有一个连通组元，即S中所有像素都互相连通，则称S是一个连通集。如果一幅图像中所有的像素分别属于几个连通集，则可以说这几个连通集分别是该幅图像的连通组元。两个互不（直接）连接但都与同一个图像子集连接的图像子集是互相连通的。图像里同一个连通集中的任意两个像素互相连通，而不同连通集中的像素互不连通。在极端的情况下，一幅图像中所有的像素都互相连通，则该幅图像本身就是一个连通集。

1.3.2 像素间距离

像素之间关系的一个重要概念是像素之间的距离。

1.距离量度函数

给定3个像素p，q，r，坐标分别为（x，y），（s，t），（u，v），如果下列条件满足的话，称函数D是距离量度函数。

（1）D（p，q） ≥ 0（D（p，q） = 0，当且仅当p = q）。

（2）D（p，q） = D（q，p）。

（3）D（p，r） ≤ D（p，q） + D（q，r）。

上述3个条件中，第1个条件表明两个像素之间的距离总是正的（两个像素的空间位置相同时，它们之间的距离为零）；第2个条件表明两个像素之间的距离与起终点的选择无关；第3个条件表明两个像素之间的最短距离是沿直线的。这个最短距离就是欧氏距离。

在离散化的数字图像中，常使用不同的距离量度方法。点p和q之间的欧氏距离（也是范数为2的距离）定义为：

点p和q之间的D4距离（也是范数为1的距离），也称为城区距离，定义为：

点p和q之间的D8距离（也是范数为∞的距离），也称为棋盘距离，定义为：

例1.3.1 距离计算示例

根据上述3种距离定义来计算图像中任意两个像素间的距离时会得到不同的数值。如图1.3.2中，两个像素p和q之间的DE距离为5（见图1.3.2（a）），D4距离为7（见图1.3.2（b）），D8距离为4（见图1.3.2（c））。图中像素p和q之间的线段形象地给出了距离计算的路径。需要指出的是，除欧氏距离外，其他距离计算的路径都可能有多条。

欧氏距离给出的结果最准确，但由于计算时需要进行平方和开方运算，计算量比较大。城区距离和棋盘距离均为非欧氏距离，不需要进行平方和开方运算，计算量相对较小，但结果有一定的误差。注意距离的计算中只考虑图像中两个像素的位置，而不考虑这两个像素的灰度值。

2.距离和邻域

距离反映了像素之间的接近程度，而像素的邻域也可以看作是根据像素之间的接近程度来定义的，所以距离远近和邻域大小是密切相关的。

根据欧氏距离量度，与（x，y）的距离小于或等于某个值d的像素都包括在以（x，y）为中心，以d为半径的圆中。

例1.3.2 数字图像中的圆

在数字图像中，对一个圆区域只能近似地表示。如与（x，y）的DE距离小于或等于3的像素组成图1.3.3（a）所示的类似正八边形的区域（图中的距离值已四舍五入）。

根据城区距离量度，与（x，y）的D4距离小于或等于某个值d的像素组成以（x，y）为中心的菱形。例如与（x，y）的D4距离小于或等于3的像素组成图1.3.3（b）所示的菱形区域。

根据棋盘距离量度，与（x，y）的D8距离小于或等于某个值d的像素组成以（x，y）为中心的正方形。例如，与（x，y）的D8距离小于或等于3的像素组成图1.3.3（c）所示的正方形区域。

例1.3.3 范数和距离

不同的距离量度方法采用不同的范数来计算。范数是测度空间的一个基本概念。一个函数f（x）的范数可表示如下（其中w称为指数或指标）：

在距离计算中，可定义两点之间的闵可夫斯基（Minkowski）距离度量为：

上式中，w取1、2和∞是几种常用的特殊情况。如图1.3.4所示，考虑与原点为单位距离的点组成的集合的形状，当w取1时，得到一个菱形，当w取2时，得到一个圆形，当w取∞时，得到一个正方形。可将图1.3.4与图1.3.3进行对照。

利用像素间的距离也可定义像素的邻域。例如D4= 1的像素就是（x，y）的4-邻域像素。换句话说，像素p的4-邻域也可定义为：

D8= 1的像素就是（x，y）的8-邻域像素，这样像素p的8-邻域也可定义为：

等距离轮廓图案中的像素个数也与距离有关。设用∆i（r），i = 4，8表示与中心像素的di距离小于或等于r的等距离轮廓图案，用#[∆i（r）]表示除中心像素外∆i（r）中所包含的像素个数，则对城区距离圆盘来说，由于像素个数随距离成比例增加，所以有：

类似地，对棋盘距离圆盘有：

另外，棋盘距离圆盘实际上是一个正方形，所以也可用下式计算棋盘距离圆盘中除中心像素外所包含的像素个数：

例如，#[∆4（5）]= 60，#[∆4（6）]= 84，#[∆8（3）]= 48，#[∆8（4）]= 80。

3.距离变换

等距离轮廓给出了与中心像素的某种距离小于或等于某个值的像素组成的图案。如果考虑图案区域中的每个点与最接近的区域外的点之间的距离，并用与距离成正比的灰度表示该点的灰度而得到的结果称为距离变换图，也简称距离图。换句话说，对区域中的一个点，距离变换的结果正比于该点与区域边界的最近距离。距离变换（DT）是一种特殊的变换，它把二值图像变换为灰度图像（一个应用示例可见6.4.2小节）。

例1.3.4 离散距离图示例

离散距离图一般可用灰度图来表示，其中图里任一个位置的灰度值正比于该处的距离变换值。例如，图 1.3.5（a）所示为一幅二值图，距离变换后为一幅灰度图（见图 1.3.5（b）），其中心数值比较大，四周数值比较小。比较两图还可看出，虽然图 1.3.5（a）中所示的长方形区域里各像素的原始值一样，但变换后的值分为图 1.3.5（b）所示的 3种。这反过来表明，距离计算和距离变换只与图像中两个像素的相对位置有关，而与这两个像素的灰度值无关。