第一节 数字起源

一、数字的含义

数字、文字和自然语言都是信息的载体，它们之间有着天然的联系。远古时期，我们的祖先在未长成我们今天的模样以前，就开始传播信息了。就像我们熟悉的动物一样，动物们经常发出不一样的声音，你可以从中判断出它们的意图。早期的人类也会发出这样的声音，渐渐地，人类开始用这样的声音来传播信息，比如用某种特定的声音提醒同伴有危险要小心，同伴就可能会用“呀呀”声来回应，表示明白了对方的提醒。数字、文字和自然语言的产生都是为了同一个目的——记录和传播信息。

数字是一个神秘的领域，人类最初对数字并没有概念。但是，生活方面的需要，让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。数字产生的年代久远，不过可以肯定的一点是，数字的概念和计数的方法在文字记载之前就已经发展起来了。根据考古学家提供的证据，人类早在5000多年前就已经采用了某种计数方法。关于谁先谁后的问题，说法不一，清代徐灏在《说文解字注笺》中提出：“造字之初，先有数而后有文。”徐灏认为，中国文字的源起，最早产生的是数字，而后才出现了象形字。

大科学家爱因斯坦曾经说过：“数字和宇宙同等重要。”数字是人们建立科学理论的语言。现代化学、生命科学、心理学、人类学、社会学、经济学、数字技术，甚至包括人文味特浓的历史学都需要数字。今天，数字在人类生活的方方面面发挥着作用，人类进入了数字化的时代，我们的生活越来越数字化，我们的生活日益离不开计数和基于数字技术的电脑、手机、网络等。追根究底，利用的仍然是人类最古老的数字思想。

二、数的诞生

数的形成与火的使用一样古老，大约是在30万年以前，它对于人类文明的意义绝不亚于火的使用。数字的诞生和人类对自然的认识以及生产活动有着密切的联系。人类是动物进化的产物，早期人类了解和需要传播的信息是很少的，因此他们并不需要语言和数字。但是随着人类文明的进步，需要表达的信息越来越多，不再是几种声音就能完全覆盖的。人类生活的经验，作为一种特定的信息，是那个时代最宝贵的财富。人类的祖先为了生存，往往几十人在一起，过着群居的生活，他们白天共同劳动，如搜捕野兽、飞禽或采集果薯食物，晚上住在洞穴里，共同享用劳动所得。在长期的共同劳动和生活中，他们能用简单的语言夹杂手势，来表达感情和交流思想。在漫长的生活实践中，记事和分配生活用品等方面的需要，不可避免地要遇到数的问题，人类便产生了“数”的朦胧概念。由于他们狩猎而归，猎物或有或无，于是便有了“有”与“无”两个概念。连续几天“无”兽可捕，就没有肉吃了，“有”“无”的概念便逐渐加深。人类开始拥有一些食物和物件，便有了“多”和“少”的概念。后来，群居发展为部落，部落由一些成员很少的家庭组成。所谓“有”，就分为“一”“二”“三”“多”四种。任何大于“三”的数量，他们都理解为“多”“一堆”或者“一群”。人们在生产活动中注意到在数量上的差异，后来他们利用双手来说清简单的数量，随着时间的推移就形成了“数”的概念。就这样，由于部落种群的数量、采集果实的数量、捕获猎物的数量越来越多，人类发达的大脑对客观世界的认识已达到理性和抽象的地步，“数”便成为人类思维开始的标志，数字便成为人类特有的知识，把形象事物利用数字进行思考和认识的时候，人类的抽象思想便开始了。

数的产生，标志着人类的思维逐步由事件的直观思维走向形式或抽象思维。当代科学界多称为数量的形式思维，标志着人们的思维由朴素的“低级”思维向“高级”思维发展。无疑，由此就形成了认识上的差别性。实际上，形式思维在于笼统性，事件的直观思维在于事件的具体性。

三、数的衍生

从数的诞生开始，一直发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数全都是自然数。但随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年，自然数、分数和零统称为算术数。自然数也称为正整数。随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。

后来，又有学者发现了一些无法用有理数表示的数。有这样一个故事：一个叫希帕索斯的学生画了一个边长为1的正方形。设对角线为x，根据勾股定理x2＝12+12＝2，可见对角线是存在的，可它是多大呢？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这就是后来人们发现的“无理数”，这些数无法用准确的数字表示出来，它们是无限不循环小数，所以用根号“”来表示。

有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内，对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方，如果被开方数是负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号“i”表示“－1”的平方根，即，虚数就这样诞生了。“－1”成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成a+bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不“虚”了。

发展到虚数和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员都已经到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数”的概念。所谓四元数，就是一种形如q＝a的数。它是由一个标量a（实数）和一个向量（其中x、y、z为实数）组成的。四元数在数论、群论、量子理论以及相对论等方面有着广泛的应用。与此同时，人们还开展了对“多元数”理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阵等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。

【思考与练习】

1．谈谈你对数字的理解。

2．请简述一下，数字诞生的原因。