1.1 有限元法发展综述

随着科学技术的发展，人们正在不断地更新、建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，对结构的静、动力强度，以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。

例如，分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，预测是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。将这些都归结为求解物理问题的控制偏微分方程式往往是不可能的。

近年来，在计算机技术和数值分析方法的支持下发展起来的有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。

有限元分析方法（简称有限元法）是一种高效能的、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。

自1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余量法中的伽辽金法（Galerkin）或最小二乘法等也获得了有限元方程，因此有限元法可应用于以任何微分方程来描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。

1.1.1 有限元法的孕育和发展

大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。虽然积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行的是无限划分而后者进行的是有限划分，但积分运算为实现有限元技术奠定了理论基础。

在此之后大约100年，著名数学家高斯提出了加权余量法及线性代数方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。在18世纪，另一位数学家拉格朗日提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一种途径。

在19世纪末或20世纪初，数学家瑞雷-里兹首先提出了对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数——有限元法。

至此，实现有限元技术的第二个理论基础也已确立。

20世纪50年代，大型电子计算机被投入解算大型代数方程组的工作中，这为实现有限元技术准备好了物质条件。1960年前后，美国的R.W.Clough教授及我国的冯康教授分别在论文中提出了“有限单元”这样的名词。此后，这样的叫法被大家所接受，有限元技术从此正式诞生。

1990年10月，美国波音公司开始在计算机上对新型客机B777进行“无纸设计”，仅用了3年多的时间，第一架B777就于1994年4月试飞成功，这在制造技术史上具有划时代的意义，其中在结构设计和评判中就大量采用了有限元分析这一手段。

在有限元法的发展初期，由于其基本思想和原理的“简单”和“朴素”，以致许多学术权威机构都对其学术价值有所鄙视，如国际著名刊物Journal of Applied Mechanics许多年来都拒绝刊登有关有限元分析的文章。然而现在，有限元分析已经成为数值计算的主流，不但国际上存在如ANSYS等数种通用有限元分析软件，而且涉及有限元分析的杂志也有几十种。

1.1.2 有限元法的基本思想

有限元法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于，它的近似性仅限于相对较小的子域中。20世纪60年代初，首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授将其形象地描绘为“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。

有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，并在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，对微分方程进行离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，可以构成不同的有限元法。有限元法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展逐渐应用于流体力学的数值模拟。

在有限元法中，把计算域离散划分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，使用单元基函数的线性组合来逼近单元中的真解，将整个计算域上总体的基函数看作是由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以被看作是由所有单元上的近似解构成的。在河道数值模拟中，常见的有限元法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。

根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元法可划分为多种计算格式。从权函数的选择来划分，可划分为配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；从计算单元网格的形状来划分，可划分为三角形网格、四边形网格和多边形网格；从插值函数的精度来划分，可划分为线性插值函数和高次插值函数等不同的组合。

对于权函数来说，伽辽金法（Galerkin）是将权函数设为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为待求系数的平方误差最小；配置法是先在计算域内选取N个配置点，再令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。

插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示的，最常用的为多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类：一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一类不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Hermite）多项式插值。

单元坐标有笛卡儿直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状：如果单元的几何形状是一维的，则它被看作长度比；如果单元的几何形状是二维的，则它被看作面积比；如果单元的几何形状是三维的，则它被看作体积比。

在二维有限元中，三角形单元应用最早，而近年来四边形等单元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元来说，常采用的插值函数为Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数，面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

1.1.3 有限元的发展趋势

有限元的应用范围相当广泛。它不仅涉及工程结构、传热、流体运动、电磁等连续介质的力学分析，并且在气象、地球物理、医学等领域也得到了应用和发展。电子计算机的出现和发展，使得有限元法在许多实际问题中的应用变为现实，并且具有广阔的前景。

早在20世纪50年代末、60年代初，国际上就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最著名的是由美国国家航空航天局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的Nastran有限元分析程序。该程序发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析程序。

从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也研发了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要包括德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS，以及美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等。目前，有限元法和软件发展呈现以下趋势特征。

1.从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题

有限元法最早是从结构化矩阵分析发展而来的，并逐渐推广到板、壳和实体等连续体的固体力学分析中。实践证明，这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明，只要用于离散求解对象的单元足够小，所得的解就可以足够逼近精确值。所以，近年来有限元法已发展到对流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题进行求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。

例如，当气流流过一个很高的铁塔时，就会使铁塔产生变形，而铁塔的变形反过来又会影响气流的流动……这就需要使用固体力学和流体动力学的有限元分析结果进行交叉迭代求解，即所谓的“流固耦合”问题。

2.从求解线性工程问题发展到分析非线性问题

随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计要求。例如，建筑行业中高层建筑和大跨度悬索桥的出现，就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题；航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，也要考虑材料的非线性问题，因为随着塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，仅仅依靠线性计算理论不足以解决所遇到的问题，只有采用非线性有限元算法才能解决。

众所周知，非线性的数值计算是很复杂的，它涉及很多专门的数学问题和运算技巧，工程技术人员一般很难掌握。为此，近年来国外的一些公司花费了大量的人力和投资来开发MARC、ABQUS和ADINA等专门用于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践中。这些软件的共同特点是具有高效的非线性求解器，以及丰富和实用的非线性材料库。

3.增强可视化的前置建模和后置数据处理功能

早期的有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。随着数值分析方法的逐渐完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题开始日益突出。

在现在的工程工作站上，求解一个包含大约10万个方程的有限元模型只需要花费几十分钟，但是如果使用手工方式来建立这个模型，再处理大量的计算结果，则需要花费几周的时间。可以毫不夸张地说，工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。因此，目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。

在强调“可视化”的今天，很多程序都建立了对用户非常友好的GUI（Graphics User Interface），使用户能够以可视图形的方式直观、快速地进行网格的自动划分，生成有限元分析所需的数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，以便于极值搜索和所需数据的列表输出。

4.与CAD软件的无缝集成

目前，有限元分析系统的另一个特点是与CAD软件的集成使用，即在使用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求，则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。

目前，工程师可以在集成的CAD和FEA软件环境中快捷地解决一个在以前无法应付的复杂工程分析问题。所以当今所有的商业化有限元系统商都开发了（如SpaceClaim、Creo、CATIA、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）和CAD软件的接口。

5.在Wintel平台上的发展

早期的有限元分析软件基本上都在大中型计算机（主要是Mainframe）上进行开发和运行，随后发展到以EWS（Engineering WorkStation，工程工作站）为平台，它们的共同特点是采用UNIX操作系统。PC的出现使计算机的应用发生了根本性的变化，使工程师渴望在办公桌上完成复杂工程分析的梦想成为现实。

但是早期的PC采用16位CPU和DOS操作系统，其内存的公共数据块受到限制，因此当时计算模型的规模不能超过10000阶方程。Microsoft Windows操作系统和32位的Intel Pentium处理器的推出为PC用于有限元分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此，当前国际上著名的有限元程序研究和发展机构纷纷将他们的软件移植到了Wintel平台上。

在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计和制造都离不开有限元分析计算，有限元法在工程设计和分析中得到了越来越广泛的应用。目前，以分析、优化和仿真为特征的CAE（Computer Aided Engineering，计算机辅助工程）技术在世界范围内蓬勃发展。它通过先进的CAE技术快速、有效地分析产品的各种特性，揭示结构的各类参数变化对产品性能的影响，进行设计方案的修改和调整，使产品在性能和质量上达到最优、原材料消耗最低。