2.5 模糊数学理论基础_冲突证据推理与融合-QQ阅读男生武侠网

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2.5 模糊数学理论基础

模糊性是客观事物所呈现的普遍现象。它主要是指客观事物差异中的中间过渡的“不分明性”，或者说是研究对象的类属边界或状态的不确定性。模糊数学研究的目的是要使客观存在的一些模糊事物能够用数学的方法来处理。模糊集合理论给出了表示不确定性的一种方法，为那些含糊、不精确或不确定性事物的建模提供了有力工具。

2.5.1 模糊集合与隶属度

模糊集合是经典集合的一种推广，是Zadeh于1965年首先提出的，用来对模糊现象或模糊概念进行刻画。所谓模糊现象就是没有严格的界限划分而使得很难用精确的尺度来刻画的现象，而反映模糊现象的种种概念就称为模糊概念。模糊集合是具有不分明边界的集合，一般用隶属函数来表征。所谓的隶属函数是经典集合的特征函数的推广，是刻画模糊集合本质特征的映射。

设U是一个非空论域， U 上的模糊集合由映射：U→[0，1]来定义，该映射称为的隶属函数。模糊集合由其隶属函数唯一确定，所以通常把隶属函数直接写成。

对于任意u∈U，都有唯一确定的隶属度∈[0，1]与之对应，反映了U中的每个元素u对于模糊集合的隶属程度。的值接近于1，表示u隶属于的程度很高；的值接近于0，表示u隶属于的程度很低。

当的值域为{0，1}二值时，即为经典集合的特征函数，而就是一个经典集合。

当论域U离散或有限时，模糊集合记为

当论域U连续和无限时，模糊集合记为

给模糊变量赋予隶属度值或隶属函数的方法可能比给随机变量赋予概率密度函数所用的方法更多，这种赋值过程直观，并可建立在一些算法或逻辑运算之上。

2.5.2 格贴近度

设F（U）表示论域U上的模糊子集的集合，并且将模糊子集简称为F集。符号∧和∨分别表示取下确界和上确界。

定义2.21 （贴近度）设A，B，C∈F（U），若映射N：F（U）× F（U）→[0，1]满足：

1.N(A,B)=N(B,A);

2. N(A, A)=1, N(U,∅)=0;

3.若A⊆B⊆C，则N（A，C）≤N（A，B）∧N（B，C），

则称N（A，B）为F集A与B的贴近度， N称为F（X）上的贴近度函数。

定义2.22 （ F集的内积）设A， B∈F （U），称为F集A、B的内积。

定义2.23 （ F集的外积）设A， B∈F （U），称为F集A、B的外积。外积是内积的对偶运算。

定义2.24 （“余”运算）∀α∈[0，1]，α^c=1-α。

定理 2.3 设A，B∈F（U），则（AoB）∧（AB）^c是F集A与B的贴近度，叫作A和B的格贴近度，记为N₁（A，B）=（Ao B）∧（AB）^c。

2.5.3 模糊综合评判

所谓综合评判，就是对受到多种因素约束的事物做出一个总的评判。如果考察的因素只有一个，只要给每个评判的对象一个评价分数，就可将它们排出优劣的次序。但是一个事物往往有多种属性，评价事物必然同时考虑各种因素，而且评价结论往往具有模糊性，这就是模糊综合评判问题。

定义2.25 （ n元模糊综合函数）设n元函数 f：[0，1]ⁿ→[0，1]，满足：

1.正则性：若x₁=x₂=…=x_n=x，则 f （x₁，x₂，…，x_n）=x；

2.单增性： f （x₁，x₂，…，x_n）关于各个变元是单调增加的，即对于任意i，若，则；

3.连续性： f （x₁，x₂，…，x_n）关于所有变元是连续的，即对于任意i，满足，则称 f 为n元模糊综合函数。

常用的n元模糊综合函数总与一个权向量有关，且常涉及以下两类权向量A=（a₁，a₂，…，a_n）∈[0，1]ⁿ：

1.归一化权向量：；

2.正规化权向量。

归一化权向量与正规化权向量是可以相互转化的。

模糊综合评判有三要素，即因素集、评价集和单因素评判。其中被测对象的因素集合U={u₁ ，…， u_n}称为因素集；各种评价构成的集合V={v₁ ，…， v_m}称为评价集。对单个因素u_k（k=1，2，…， n），还必须给出单因素评价向量，它由一个从U到V 的模糊映射得到：

所以单因素评价向量可以看作V 上的一个模糊子集，其中r_kl表示考虑第k个因素时，得到第l个等级的隶属度。n个因素的总的评价矩阵为

它是由所有对单因素评判的模糊集组成的。

在进行综合评价时，一般来说，各种因素对事物评定等级所起的作用是不一致的，这种评价作用就形成了因素集U 上的一个因素权重模糊子集=（a₁，…， a_n）。a_k就是单独考虑因素u_k对评价等级所起作用大小的度量，代表了根据因素u_k评价等级的能力，它们满足归一化条件，即a₁+a₂+…+a_n=1。