第二章 具有横截面相关性的非平衡面板数据模型的公共相关效应估计

第一节 引言

正如 Hsiao（2014）所讨论的，面板数据为计量经济学研究带来了更多的便利和可能性。相对于横截面数据，面板数据具有众多的优势，包括自由度的增加、多重共线性的缓解以及估计偏误的消除等。过去几十年，面板数据模型在实证和理论上都受到越来越多的关注，已经成为计量经济研究的一个重要领域。

在进行参数估计和统计推断时，几乎所有面板模型都要面临一个重要问题：不同个体之间可能相互依赖和相关。如何刻画和捕捉截面相关性（Cross-Sectional Dependence，CSD）极大地吸引了众多研究者的兴趣，参见Sarafidis和Wansbeek（2012）的文献综述。目前在文献中，主流的处理 CSD的方法包括空间计量模型和因子结构。前者利用空间距离信息来处理不同个体的相关性（Lee和Yu，2010），而后者利用低维因子向量结构。本书主要考虑后者，通常假设误差项包含有限个不能被观测的因子，这些因子通过影响个体特有的因子载荷来影响每个个体[例如，Bai（2009），Bai和Li（2012，2014），以及 Pesaran（2006）]。针对截面和时间维度都趋于无穷的大面板数据，因子结构法分化出三种主要方法，即 Bai（2009）的主成分方法、Bai和Li（2012，2014）的极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation，MLE）和Pesaran（2006）的公共相关效应法（Common Correlated Effects，CCE）。前两种方法需要估计公共因子和因子载荷，而 CCE 只需用观测值的截面均值来近似未知的共同因子，从而估计斜率系数。此外，因为研究者们（特别是微观计量经济学家）面对的通常是个体数N很大，时间段T较小的面板。例如，调查数据通常包含很多人或家庭较短年限的观测值（如NLS和PSID 数据集）。当时间段较短或固定时，具有CSD的面板模型处理起来更加困难。对于平衡面板的处理，最近的研究可以参考 Ahn等（2013），Juodis和Sarafidis（2018），Hayakawa（2012），Bai（2013），以及 Hayakawa（2014）。前三篇文章用的GMM（Generalized Moment Method），后两篇用的MLE。

在实证分析中，面板数据模型面临的另一个问题是数据结构的不平衡。有许多原因可能导致非平衡面板的出现，例如，由于一些预先指定的政策，某个变量在一定时间段内不可观测，或者一开始参与面板的个体不愿或不能继续参与。因此，在估计面板模型时把非平衡的特征纳入考虑就非常重要了。更多关于非平衡面板的讨论，见 Baltagi和Chang（1994），Wansbeek和Kapteyn（1989），以及Baltagi和Song（2006）。注意到，几乎所有非平衡面板的文献讨论的都是不存在 CSD 特征的面板数据模型。

据我们所知，只有 Bai等（2015）考虑了当N和T都很大时具有交互式固定效应的非平衡面板模型。他们采用结合了 EM（Expectation Maximum）算法、LS（Least Squares）方法和PCA的LS-EM-PCA 算法来估计参数。这种算法包含两个循环，内层循环运用 EM 算法，外层循环估计斜率系数。这种迭代算法可能会非常耗时，并且由于可能存在局部最优而不稳定。此外，他们只通过模拟来证明 EM-型的估计量一致，且当N和T都很大（比如，N，T≥50）时估计收敛得很快。由于一致性的证明和进一步的统计推断面临技术性难题，他们没有进行渐近分析。

本书中，我们考虑N大T小时具有 CSD的非平衡面板模型的估计和推断。据我们所知，这是第一篇系统性研究非平衡面板的CCE 估计量的论文，同时我们也为小T的具有 CSD的面板文献做出了贡献。具体来说，我们修正了 Pesaran（2006）的CCE 估计量，使之能用于非平衡面板，并且提出了两种非平衡面板横截面均值作为因子的代理变量。出于效率的考虑，我们更多地关注对每一期所有可得的观测值取截面平均。和Pesaran（2006）一样，我们给出非平衡面板模型的CCE估计（以下简称CCE-UB），在一些正则条件下和N大T小时，证明了CCE-UB估计量的一致性，且渐近服从正态分布。我们通过蒙特卡洛模拟来考察 CCE-UB 估计量的有限样本表现。从模拟的结果中，我们发现 CCE-UB 估计量具有非常良好的有限样本性质，在N大T小时，确实适合估计具有CSD的非平衡面板数据模型。

接下来的行文安排如下。在第二节中，我们给出具有CSD的面板数据模型，并列出模型的主要假设。第三节介绍CCE-UB估计量，并推导它的渐近性质。第四节通过蒙特卡洛模拟来展现 CCE-UB 估计量在有限样本下的表现。第五节进行了简短的总结。

符号：本书中，C表示常数，它的具体取值视情况而定。“ IID”指 “独立同分布”。表示矩阵A的Frobenius范数。和分别表示依概率和依分布收敛。