第二节 房地产市场空间均衡模型：城市内与城市间
一 城市内部房地产市场空间结构模型
在城市房地产空间结构方面，威廉·阿朗索（W.Alonso）的研究具有开创性意义，其《区位与土地利用》一书的问世可以看作城市经济学之创始，它使这门学问具备了逻辑一致的理论基础。[6]阿朗索将冯·杜能的关于孤立国农业土地利用的分析引申到城市，以解释城市土地利用和地价的空间分布，并提出了城市竞租曲线概念，这构成城市土地利用理论的核心。此后，米尔斯和穆特等将竞租模型引入城市住房领域，住户效用函数中的土地因子被住房消费替代，构建出关于城市不同区位上住房的竞价曲线，并引发了大量有关城市房地产空间市场的理论研究。[7][8]上述理论的一个显著特征是假定城市只有唯一中心，因此，相应的模型被称为单中心房地产空间竞争模型。布吕克纳（Brueckner）对上述模型进行了一般化处理。[9]
在单中心城市理论模型中，假设所有的就业机会都集聚于一个均质城市的唯一商业中心（CBD），城市居民居住在城市CBD的外围并通勤到CBD，总的通勤费用取决于到CBD的距离（x）以及单位距离的通勤成本（t）。进一步假定城市居民具有相同的收入水平、消费倾向以及效用函数，效用函数取决于住房消费（q）和其他所有消费（c）两个要素。单位住房价格为p，其他消费品价格为1，居民收入用y表示。那么，城市居民在预算约束下通过选择最优的消费组合（c，q）使效用最大化的过程可以描述为如式2-1所示的数学形式：
其中，v（c，q）是效用函数；u是城市居民的满意水平，是外生的变量。将上式整合，如式2-2所示。
空间均衡条件要求城市居民无论住在哪里，他们都具有相同的满意程度，即u在城市空间上是不变的。式2-2的优化问题将简化为对q求极值的问题，其必要条件如式2-3所示：
从而得到式2-4：
（一）城市区位与住房价格
运用比较静态分析方法，可揭示住房价格与城市区位的关系。以x（到城市CBD的距离）为参变量，对式2-2求全微分，得到式2-5：
将式2-4代入式2-5，得到式2-6：
上式符号为负，其理论含义是：随着到单中心城市CBD距离的增加，住房价格将逐步下降（见图2-2），由此呈现单中心城市内部住房价格空间递减分布规律。
图2-2 城市地价、房价、地价与房价之比的空间变化
资料来源：丁成日：《城市经济与城市政策》，商务印书馆2008年版。
单中心城市房地产空间市场模型揭示了住房价格的空间递减规律具有自身特征。对式子2-6求二次偏微分，得到式2-7：
其中，η＜0，表示在满意水平不变下需求曲线的斜率（或者η=?q/?p）。式2-7表明，住房价格空间递减是凹函数。因此，在一个均质单中心城市中，住房价格随着到城市CBD的距离增加而递减的幅度逐步放缓。上述模型推演过程中得出的经济学含义是：为了保持空间均衡，距离CBD较远的居民必须用低的住房价格来补高的通勤费用，而距离CBD较近的居民必须用低的通勤费用来补偿高的住房价格。这是均质单中心城市住房价格空间递减规律的内在机理所在。
（二）居民收入与住房需求和住房价格
对式2-1中的预算约束等式分别求p、q 关于y的偏微分，如式2-8、式2-9所示：
从以上两式子中可以得到如下结论：住房价格随着收入水平的增加而上涨，住房消费量随着收入的增加而下降。由此推断，在城市内部，局部地区收入水平相对较高，必然将推高该区位的住房价格。
（三）交通费用与住房价格
同理，对式2-1中的预算约束等式分别求p、q关于t的偏微分，如式2-10、式2-11所示：
上述两式得出如下结论：住房价格随着单位通勤成本的增加而下降，住房消费量随着单位通勤成本的增加而上升。因此，在城市内部，交通基础设施条件的改善带来的通勤成本下降，会增加该区位的通勤吸引力，提高该区位住房价格。也就是说，交通条件的差异是造成城市内部不同区位房价差异的重要因素之一。
（四）城市内部住房价格的空间分布规律
城市内部住房位置的固定性和住房产品的异质性等特点，决定了区位要素及城市空间结构对住房价格分布差异具有重要影响。在城市中，不同区块的基础设施配套、生态环境质量、交通通达性等条件存在差异，使得商品住房具有同量但不同价的区位特征，这一特征也会相应地体现在住房价格的空间差异及变动上。这是城市内部房地产空间特性的重要表现。
1.单中心城市住房租金及价格的空间分布规律
从一个均质的理想化单中心城市内部来看，由于始终存在一种由上下班通勤的方便程度构成的位置优势，具有不同支付能力和支付意愿以及不同通勤偏好的住户或家庭将会在不同区位上以不同的租金或价格获得土地或住房，从而在城市中就会形成住房价格的空间分布差异，表现为住房价格随城市中心距离的增加而递减的空间分布形态。
在经典城市区位理论框架内，对于一个均质的理想化单中心城市而言，由于通勤方便程度的差异，在靠近城市中心的区位上，居住用地使用者（住户）或通勤者一般比农业用地使用者具有更为强烈的支付意愿或房地产需求，进而在均衡状态下两类竞租者的竞租曲线存在明显差异。表现在图2-3中，居民住宅竞租曲线要比农业的竞租曲线陡峭，而且竞租均衡状态下将会呈现不同城市土地利用类型的空间结构（比如办公业用地、制造业用地、居住用地等）以及城市与乡村界限。这一城乡界限在图2-3中表现为居民住宅竞租曲线与农业用地竞租曲线交点处的环状地带。
图2-3 单中心城市住户均衡与土地租金结构
资料来源：O'Sullivan，Arthur，Urban economics（8th ed.），New York：McGraw-Hill/Irwin，2012.
然而，现实世界中的单中心城市并非冯·杜能形式的圈层式均质空间构型。由于受湖泊河流、轨道交通、基础设施布局等的影响，城市空间形态或城市形状发生改变。比如，某一区域的交通可达性发生改变，进而使住房价格的空间差异带有特定城市形态的特征。此处，沿用威廉·阿朗索单中心城市竞租曲线的理论框架，以公路对住房价格空间分布差异的影响为例，如图2-4所示。在没有公路的均质单中心城市理想状态下，住房价格的空间分布以城市中心A点为顶点呈倒“V”形。当有一条公路出现并打破交通均质的理想世界后，公路沿线区域特别是BC地段前往城市中心的通达性发生了明显改善，居民对该区块住房的支付意愿和竞价需求增加。在此情形之下，实际成交的住房价格高出原先没有公路时该区域范围内人口愿意为该地段住房支付的价格，在图2-4中表现为住房价格梯度线在B点出现了倾斜向上的拐折。可见，由城市中心向外放射的城市轨道交通线路会使竞租曲线或房价梯度曲线变得相对平缓，而单中心城市内某处区位的交通状况发生明显改善后，城市内部住房价格的原先空间分布形态将发生变异。
2.多中心城市住房价格的空间分布规律
与单中心理想化城市不同，在现实世界中，由于就业机会的空间集聚，城市人口和经济活动的分布发生了改变并演变出不止一个城市中心，在这种多中心城市中，住房价格将呈现出更为复杂的空间分布差异特征。
为了深刻认识多中心城市下房地产市场和住房价格的空间分布规律，这里重点以理想化双中心城市为例，参照威廉·阿朗索的研究，具体划分出三种不同情形：处于竞争关系的两个等同大小的相邻城市中心的住房价格分布模式、处于竞争关系的两个大小不同的相邻城市中心的住房价格分布模式以及有两个互补中心的城市内住房价格分布模式。
图2-4 单中心城市交通线路对竞租曲线的影响
资料来源：Alonso，W.，Location and Land Use：Toward a General Theory of Land Rent，Harvard University Press，Cambridge，1964.
情形一：一个理想化城市中分布着两个大小相等并处于竞争关系的中心。如图2-5所示，A、B为同一城市的两个独立中心，每个城市中心各自服务于一定数量的人口并辐射一定的地理空间范围。如果这两个中心的间隔足够近，就会有一部分公共土地供两个中心各自对应服务的人群竞价使用，不少现实的房地产需求将向这一区块集中。最后出价高者将获得该区域的土地或住房，此处价格梯度线交叠呈现“V”形，并高出虚线所示的原来的住房价格水平（虚线部分是分界线某一侧人口给出的低于实际成交价格的未成交价格）。这种情形揭示了具有空间特征的城市房地产市场上的购房者需求及竞价行为是推动住房价格上涨的重要动力因素。
图2-5 处于竞争关系的两个等同大小的相邻城市中心的房价空间分布模式
资料来源：根据W.Alonso（1964）地租空间分布模式的拓展整理。
图2-6 处于竞争关系的两个大小不同的相邻城市中心的房价空间分布模式
资料来源：根据W.Alonso（1964）地租空间分布模式的拓展整理。
情形二：一个理想化城市中分布着两个大小不相等并处于竞争关系的中心。如图2-6所示，A、B分别代表同一城市里一个较大的中心和一个较小的中心，中心B的服务区域被中心A的服务区域全部覆盖，那么B中心处的实际住房价格将在中心B辐射范围人口与中心A辐射范围内人口叠加竞争中形成，价格梯度曲线呈现向上凸起的形态。因为城市次中心的出现，住房需求和住房价格的空间分布将发生变异。如果中心B是一个城市中的独立中心，其辐射范围内的人口愿意为土地或住房支付的价格就会低于当前的实际价格，在图2-6中呈现为中心B对应的倒“V”价格梯度曲线两端的虚线部分；假如点B代表的是一个理想化均质单中心城市中的唯一中心，该中心及其周边的住房价格就处在相对更低的水平，其价格梯度曲线如图2-6中阴影三角形左右两个边所示。总之，由于城市内部出现一个与城市中心处于竞争关系的次中心，在住户或家庭竞租作用下，均衡状态的城市内部住房价格的总体空间分布将呈现出不规则形态。
情形三：一个理想化城市中分布着两个互补的中心。如图2-7所示，城市中心在空间上分离为A和B，A是城市的办公和购物中心，B是城市的制造业中心。在城市居民中，有一部分人（主要是较高收入者）工作和购物都在A中心，其竞价函数为Pi，如图2-7下半部左边所示，其余人口（主要是较低收入者）工作在B中心，但购物在A中心，其竞价函数为Pj，如图2-7下半部右边所示。可以看出，价格梯度曲线Pj有两个顶点，顶点对应的区域恰好是城市中心A和中心B。人口分布如图2-7上半部分所示，阴影区域表示工作和购物都在A中心的人群所占据的区域。由于制造业中心B处的居民（主要是有较高收入水平和较强购物支付能力的居民）通常要到A中心购物，因此，阴影区域还呈现出高收入人口的集中程度要高于其余区域。在此情形下，高收入人口为孤岛状，而且竞租均衡状态下的城市地价或住房价格在该阴影区域内明显更高，城市中心A区域的价格梯度曲线的顶点上移，变得愈加陡峭。可见，城市内人口密度及居民收入水平的差异是造成住房价格在城市内部出现空间分布变异的一个重要因素。
图2-7 有两个互补中心的城市内部房价空间分布模式
资料来源：根据W.Alonso（1964）地租空间分布模式的拓展整理。
总之，在一个城市的内部，房地产市场和住房价格具有独特的空间作用机理并呈现出规律性分布特征，这为探索更大空间尺度上城市间房地产市场和住房价格的分布差异及其动态演变提供了重要借鉴与启发。
二 区域城市间房地产市场空间格局演变
房地产市场的空间差异性还体现在更大空间尺度的不同城市和地区之间。由于空间异质性和空间依赖性的同时存在，城市间房地产市场与住房价格的一般性空间作用机理和分布特征更为复杂。
从城市住房的物理属性看，住房位置的固定性和不可移动性决定了其不可能像其他商品一样跨区域配置，当某一城市房地产市场出现供过于求或供不应求状况时，不可能通过输送其他城市商品房进行调剂，以达到该城市房地产市场的供求平衡。比如，在区域内某些中心城市、大城市住房价格上涨时，其他中小城市的住房供给并不能满足大城市的需求。同时，由于通达性的差异，大城市核心区域住房和边缘区域的住房也难以互相替代。因而，从城市截面上看，由于区域内或区域间城市在地理区位条件、经济社会发展水平、房地产市场发育程度等方面存在差异，商品房供求矛盾程度也不尽相同，住房价格水平往往是不同的。
沿用城市微观层面的研究框架，通过调整和放松假设条件，将作为小尺度地域空间单元的城市层面的分析映射和拓展到作为较大地域空间单元的区域层面分析，即把城市假设为一个涵盖了不同规模、不同类型城市的区域（城市体系），将城市中的多中心抽象为区域内多个城市构成的点，这样就可以对理想状态下不同情形城市之间房地产市场和住房价格的区域空间分布模式展开分析。这里重点分析三个相互独立且规模不等的理想化单中心城市房地产市场供求状况和住房价格的区域空间差异性，如图2-8所示。在一定的区域范围内（图中虚线方框为区域边界），分布着甲城市、乙城市和丙城市，各自对应的城市中心分别为点A、B和C。由于城市规模存在差异，均衡状态下各城市对应的房价梯度曲线的顶点存在明显的高低差别，表现为规模最大的甲城市的住房价格整体水平较高，规模次之的乙城市的住房价格水平相对较低，规模最小的丙城市的住房价格整体水平最低。
图2-8 区域内三个相互独立的城市的住房价格空间分布模式
进一步看，可以对理想化区域内规模大小不等但功能互补的两个城市的住房价格空间分布差异模式展开分析，如图2-9所示。在一定的区域空间范围内（图中虚线方框为区域边界），存在一个具有办公与购物功能的消费型城市甲（城市中心为A）和一个以生产制造业为主的生产型城市乙（城市中心为B），其中，乙城市居民尽管在该城市工作，但购物在甲城市，这样购物和工作均在城市甲中心A的人口所占区域的经济活动密度将明显提高（如图2-9中上部阴影区域所示），对土地和住房的需求与竞价将变得激烈，均衡状态下区域内两个城市的住房价格空间分布将出现显著差异。
图2-9 区域内两个互补城市的住房价格空间模式
从现实情形来看，随着现代交通通信技术的快速发展和城市化过程中城市间相互联系、相互作用的增强，都市圈、城市群等地域空间结构逐步形成，并成为房地产市场发展的主体空间依托，在此背景下，区域城市间的房地产市场运行将呈现差异联动特征。这里继续沿用城市内部房地产市场空间结构分析框架，区域城市之间房地产空间结构的演变在本质上与城市内部相似，即扩展了研究的地域空间后，区域（城市群或城市区域）可以抽象为城市，其内部的城市可以抽象为区位。在快速交通条件支持下，城际通勤具备了现实的可能性，人们的居住、就业活动将在更广地域空间上得到扩展。这里重点以理想区域下三个规模大小不同且空间流密集交汇的城市（中心城市甲、外围城市乙、外围城市丙）为例。A点、B点和C点分别是三个城市的中心，随着区域快速交通基础设施建设和连通，人流、物流、资金流、信息流等在三个城市之间将不同程度地流动和交汇，城市规模在时间维度上呈现出一定的变化。假设甲城市因其先天禀赋或率先发展等而具有相对较高的收入水平，集聚大量的就业岗位和就业机会，那么，随着甲城市要素的空间集聚与扩散，一方面，其空间范围将向外拓展（如图2-9中大圆形虚线所示）；另一方面，其中心区域的人口集聚和经济活动密度将大大提高（该区域如图2-9中小圆圈阴影部分所示）。在这种动态影响下，由于中心城市土地和住房供给的弹性较低，甲城市住房价格梯度曲线不仅在坐标轴上向外扩展，而且顶点上移得要更快。尽管乙城市和丙城市的住房价格水平也有所提高，但三个城市间的住房价格空间分异明显。
随着交通基础设施的改进以及时空距离压缩效应的释放，外围乙城市和丙城市相对于中心城市甲的相对区位条件发生了改变，逐步具备与中心城市发生当日通勤或当周通勤联系的条件。外围城市的通勤引力增加，吸纳和承载中心城市外溢住房需求的能力也得到提升，部分居住活动向外围城市逐渐转移，增加外围城市的住房需求（来自中心城市的住房需求外溢），进而提高和中心城市相对邻近的外围城市的房地产价格水平，表现为其房价梯度曲线沿着纵轴上移。这样将会形成城市的房地产价格随着到中心城市距离的增加而递减的空间分异模式，这与单中心城市内部住房价格随着到CBD距离的增加逐步下降的空间格局有相似之处，如图2-10所示。
图2-10 区域城市间房地产空间格局
如果理想区域空间内包含像空间经济学中城市模型描述的大小不等且具有层次结构的城市体系，那么在城市自身因素以及空间流交互影响下，区域城市间房地产市场空间格局将呈现为不同模式，或为均衡的独立空间结构，或为非均衡的单中心—外围结构，或者是多中心、集群网络化结构。